【精品】高中数学必修三第一章11算法与程序边框图

第一章1.1算法与程序边框图

1.算法的概念

(1)算法概念的理解

①算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．

②算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．

③算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点．

(2)算法的四个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性

①概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用．

②逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的,从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列．

③有穷性：算法有一个清晰的起始步，终止步是表示问题得到解答或指出问题没有解答，所有序列必须在有限个步骤之内完成，不能无停止地执行下去．

④不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可以有不同的算法，当然这些算法有简繁之分、优劣之别．

（3)常见的算法类型

①数值性计算问题．如：解方程（或方程组）、解不等式(或不等式组）、利用公式求值、累加或累乘等问题，可通过相应的数学模型借助一般的数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化．②非数值性计算问题．如：判断、排序、变量变换等需先建立过程模型，再通过模型进行算法设计与描述．

注意：（ⅰ）注意算法与解法的区别：算法是解决一类问题所需要的程序或步骤的统称；而解法是解决某一个具体问题的过程或步骤，是具体的解题过程．

（ⅱ)设计算法时要尽量选取简捷、快速、高效的解决问题的算法．对一个具体的问题，我们要对解决问题的途径进行透彻的研究，找出最优算法，做到“先思考后处理"．

2．程序框图

(1）程序框图又称为流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．

（2)用程序框图表示算法，具有直观、形象的特点，能更清楚地展现算法的逻辑结构．(3）程序框图主要由程序框和流程线组成．基本的程序框有终端框、输入框、输出框、处理框、判断框,其中终端框是任何流程图不可缺少的，而输入、输出可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．

(4)画程序框图的规则

①使用标准的框图符号;②框图一般按从上到下、从左到右的方向画;③终端框（起止框）是任何程序框图必不可缺少的，表示程序的开始和结束；④除判断框外,大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点,判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；⑤程序框图符号框内的文字要简洁精炼．

注意：（ⅰ）每一种程序框图的图形符号都有特定的含义,在画程序框图时不能混用,并且所用图形符号一定要标准规范，起始框只有一条流出线(没有流入线)，终止框只有一条流入线(没有流出线)，输入、输出框只有一条流入线和一条流出线，判断框有一条流入线和两条流出线．(ⅱ)如果一个程序框图由于纸面等原因需要分开画，要在断开处画上连接点,并标出连接的号码．（ⅲ)判断框是“是"与“否”两分支的判断，有且仅有两个结果．（ⅳ）一般地，画程序框图时，先用自然语言编写算法，然后再画程序框图．

3．算法的三种基本结构

(1）

顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构,其基本结构形式如图所示，其中A、B两框所指定的操作是依次执行的．顺序结构中所表达的逻辑关系是自然串行、上下连贯、线性排列的．

(2）条件结构：先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构．条件结构用于进行逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．条件结构必含判断框．条件结构的结构形式如图2所示，此结构中包含一个判断框，算法执行到此判断框给定的条件P时，根据条件P是否成立选择不同的执行框(A框或B框)．注意:无论P是否成立，下一步只能执行A框或B框之一，不能A框和B框同时执行，也不能A、B两框都不执行，但A框和B框中可以有一个是空的，如图3.

（3)循环结构:根据条件是否成立，以决定是否重复执行某些操作，在算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，重复执行的处理步骤称为循环体．根据执行情况及循环结束条件的不同可以分为当型循环（WHILE型）和直到型循环（UNTIL型)．

当型循环的特点是“先判断,后执行”,即先判断条件，当条件满足时，反复执行循环体,当条件不满足时退出循环(也就是说直到条件不满足时退出循环)．如图4.

直到型循环的特点是先执行一次循环体，再判断条件，当条件不满足时执行循环体,当条件满足时退出循环(即直到条件满足时退出循环)，即“先执行，后判断”．如图5。

当型循环可能一次也不执行循环体，而直到型循环至少要执行一次循环体．当型循环与直到型循环可以相互转化，条件互补．

循环结构中常用的变量有计数变量、累加变量及累乘变量．计数变量用来记录某个事件发生的次数（即执行循环体的次数），累加变量用来计算数据之和，累乘变量用来计算数据之积．对于这些变量，开始一般要先赋初值，一般地,计数变量初值可设为0或1，累加变量初值设为0，累乘变量初值设为1.

注意：（ⅰ)正确理解顺序结构的特点及适用条件是作出顺序结构图的关键．（ⅱ）画条件结构的程序框图要用到判断框，判断框有两个出口，根据不同的条件输出不同的信息，这些不同的信息必须全部写出．(ⅲ）只有有规律的，能重复进行的算法过程才能用循环结构．

题型一算法设计

写出能找出a、b、c三个数中最小值的一个算法．

解第一步:输入a、b、c.并且假定min＝a；

第二步:若b〈min成立,则用b的值替换min；否则直接执行下一步；

第三步：若c

第四步：输出min的值,结束．

点评本题的思路是：将min定义为最小值，并把a的值赋给min，然后依次与b、c 比较大小，遇到小的就替换min的值，最后输出min的值，这种方法可以推广到从多个不同的数中找出最大或最小的一个．

题型二条件结构的程序框图

已知函数y＝(x〉0)，,0(x＝0)，,1(x<0)。)）写出求该函数值的算法及程序框图．

解算法如下：第一步：输入x；

第二步:如果x〉0，那么使y＝－1,如果x＝0，那么使y＝0,如果x〈0，那么使y＝1；

第三步：输出函数值y。

程序框图如图所示．

点评该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数的表达式不同，因此当给出一个自变量x的值时，也必须先判断x的范围,然后确定利用哪一段的表达式求函数值，因为函数分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．求分段函数的函数值的程序框图,如果是分两段的函数只需引入一个判断框,如果是分三段的函数，至少需要引入两个判断框，分四段的函数要引入三个判断框，以此类推，至于判断框内的内容是没有顺序的，比如：本题中的两个判断框内的内容可以交换，但对应的下一图框中的内容或操作也必须相应地进行变化，比如本题的程序框图也可以画成如图1所示或如图2

所示．