竖曲线标高计算公式
纵断面设计——竖曲线设计
纵断面设计——竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i1-i2 ，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当i1- i2为正值时，则为凸形竖曲线。
当i1 - i2 为负值时，则为凹形竖曲线。
（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。
其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长：L = Rω3、竖曲线切线长：T= TA =TB ≈ L/2 =4、竖曲线的外距：E =⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；R—为竖曲线的半径，m。
二、竖曲线的最小半径(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。
（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。
为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。
平曲线要素计算公式
（2）曲线主点桩号计算：ZH(桩号)=JD(桩号)-T HY(桩号)=ZH(桩号)+ls QZ(桩号)=HZ(桩号)-L/2 YH(桩号)=HY(桩号)+L y HZ(桩30-3 336629-3 4028)-(3 )(227-3 2sec )(26-3 225-3 2ls 180)2(m 18024)-(3 2)(23)-(3 9022)-(3 23842421)-(3 )( 24023420230034223m Rl R l y m R l l x m L T J m R p R E m l L L R l R L m q tg p R T Rl m R l R l p m R l l q s s sss Y s s s s s s -=-=-=-⋅+=-=+⋅⋅-=+⋅⋅=+⋅+=︒⋅︒=-=-=απβααπαπβ第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：[例1]、某山岭区二级公路，变坡点桩号为K5+030.00，高程为427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程。
解：1.计算竖曲线要素ω= |i2-i1|= |-0.04-0.05| =0.09，为凸型。
曲线长L=Rω=2000×0.09=180m切线长T=L/2=180/2=90m外距E=T2/2R=902/2×2000=2.03m2.计算设计高程竖曲线起点桩号=（K5+030.00）-90=K4+940.00竖曲线起点高程=427.68-90×0.05=423.18竖曲线终点桩号=（K5+030.00）+90=K5+120.00竖曲线终点高程=427.68-90×0.04=424.08桩号K5+000.00处：横距K5x 1=（K5+ 000.00）-（K4+940.00）=60m 竖距h 1=x 12/2R=602/2×2000=0.90m 切线高程=427.68-（90-60）×0.05=426.18m 423.18+60×0.05=426.18设计高程=426.18-0.90=425.28m 桩号K5+100.00处：横距x 2=(K5+120.00)-(K5+100.00)=20m 竖距h 2=x 22/2R=202/2×2000=0.1m切线高程=427.68-（90-20）×0.04=424.88m 设计高程=424.88-0.1=424.78m 横距x 2=(K5+100.00)-(K4+940.00)=160m 竖距h 2=x 22/2R=1602/2×2000=6.4m 切线高程=423.18+160×0.05=431.18m 设计高程=431.18-6.40=424.78m[例2]平原区某二级公路有一弯道，偏角α右=15°28′30″，半径R=600m ，缓和曲线长度Ls=70m ， JD=K2+536.48。
水泥稳定料路面基层摊铺机施工标高控制技术
摊铺机摊铺水泥稳定粒料路面基层标高控制技术陈延河（）摘要：从人员配备要求、施工放样、摊铺碾压等环节，详细介绍了摊铺机摊铺水泥稳定粒料路面基层标高控制的一些施工技术。
关键词：基层；摊铺；标高；控制水泥稳定粒料（碎石、砂砾等）基层以整体性强、承载力高、刚度大、稳定性好且坚固的特点和较高的经济实用性，越来越多的被用于高等级公路。
为了在几何尺寸、强度、表面平整度等方面获得较高的质量，现行的“公路路面基层施工技术规范”规定：对于高速公路和一级公路水泥稳定土基层，当土路基上层已用石灰或固化剂处理时，底基层的下层宜用集中拌和法拌制混合料，其上的各个稳定土层都应用集中拌和法拌制混合料，并用摊铺机摊铺混合料。
摊铺机铺筑基层具有一次成型的优点，但若标高控制不当，用其他方法弥补的效果很难达到摊铺机铺筑水平。
当标高偏差过大时，沥青面层施工时势必需要采用一定的措施，或调坡或凿除，而这些措施均不可避免的造成沥青路面平整度、标高或厚度出现较大差异，不但影响路面的整体质量而且造成施工成本的增加。
因此，在施工中有必要采取一定的措施对路面基层标高进行控制。
1 配备专业的操作人员首先，要组织一支精干、责任心强的专业队伍，负责测量和基准钢线的架设工作。
应设专置测量员1名，辅工3名；基准钢线的架设最少配备4名工人，其中1名专职负责按照测算的挂线高，固定基准钢丝，另3名负责钢制基准架的打、移以及钢丝张拉等工作。
其次，摊铺机、压路机驾驶人员除了必要的机械知识以外，还应培训使其具备一定的基层施工知识和操作技巧，以更好的配合基层施工在线型、标高、平整度、压实度等方面的控制。
摊铺机应配备驾驶员3人，一人负摊铺机速度和行驶方向等控制、2人负责看护熨平板两侧纵坡传感器（把边）。
2 施工放样2.1道路中线放样用钢尺配合经纬仪（或用全站仪）沿中线方向每10米测设中桩（平曲线半径较小或在超高渐变地段间隔5米设置），距离构造物起终点约30cm处设置非整10米里程号中桩。
纵断面设计竖曲线
0.90
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00)
= 426.18m 设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
①按竖曲线终点分界计算：
横距x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝160m
竖距
y2
x22 2R
1602 6.40 2 2000
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05×(5100.00 - 5030.00)
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
设3、计。坡长限制
大于i1为陡坡，汽车减速行驶，初速为V1，终速不低于V2，大于i2 的纵坡要限制其长度。 （1）最小坡长的限制
小坡长限制主要是指从汽车行驶平顺陛、路容美观、相邻竖曲线 设置、纵面视距等考虑．通常以计算行车速度9～15s的行程作为规 定值。《标准》规定值见表
（2）最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最低容许速度时所行驶的距离
路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线
一、纵断面设计的一般要求
1、满足设计标准 2、尽量避免使用极限值 3、纵断面和地形协调 4、填挖平衡 5、满足最小填土高度和排水要求 6、桥头和交叉口处应该平缓 7、考虑通道和农田的要求
K5+100.00：位于下半支
竖曲线
竖曲线是在变坡点处，为了行车平顺的需要而设置的一段曲线。
竖曲线的形状，通常采用圆曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上抛物线比圆曲线更为方便，故一般采用二次抛物线。
在纵坡设计时，由于纵断面上只反映水平距离和竖直高度，因此竖曲线的切线长与弧长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两条纵坡线相交角用坡度差表示。
一、竖曲线要素计算如图3-3所示，设变坡处相邻两纵坡度分别为i1和i2，坡度差以ω表示，则坡度差ω为i1和i2的代数差，即ω= i1-i2：当ω>0时，则为凸形竖曲线；当ω<0时，则为凹形竖曲线。
图3-3竖曲线示意图1、竖曲线的基本方程二次抛物线作为竖曲线的基本形式是我国目前常用的一种形式。
如图3-4所示，用二次抛物线作为竖曲线的基本方程：3-4 竖曲线要素示意图竖曲线上任意一点的斜率为：当x=0时：k= i1,则b= i1；当x=L，r=R时：，则：因此，竖曲线的基本方程式为：或 (3-19)2、竖曲线的要素计算曲线长：（3-20）切线长：（3-21）外距：（3-22）曲线上任意一点的竖距（改正值）：（3-23）二、竖曲线设计标准竖曲线的设计标准包括竖曲线的最小半径和最小长度。
1、竖曲线设计的限制因素（1）缓和冲击汽车在竖曲线上行驶时会产生径向离心力，在凸形竖曲线上行驶会减重，在凹形竖曲线上行驶会增重，如果这种离心力达到某种程度时，乘客就会有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响，故应对径向离心力加速度加以控制。
根据试验得知，离心加速度a限制在0.5～0.7m/s2比较合适。
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为：（3-24）《标准》中确定竖曲线半径时取a=0.278 m/s2。
或（3-25）（2）行程时间不宜过短汽车从直坡段驶入竖曲线时，如果其竖曲线长度过短，汽车倏忽而过，冲击力大，旅客会感到不舒适，太短的竖曲线长度从视觉上也会感到线形突然转折。
因此，应限制汽车在竖曲线上的行程时间，一般不宜小于3s。
竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程
竖曲线⾼程计算公式推导过程及计算流程竖曲线⾼程计算公式推导及计算流程1. 竖曲线介绍竖曲线是指在纵断⾯内，两个坡线之间为了延长⾏车视距或者减⼩⾏车的冲击⼒，⽽设计的⼀段曲线。
⼀般可以⽤圆曲线和抛物线来充当竖曲线。
由于圆曲线的计算量较⼤，所以，通常采⽤抛物线作为竖曲线，以减少计算量。
2. 竖曲线⾼程计算流程竖曲线计算的⽬的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标⾼，其计算步骤如下：a. 计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L ；切线长T ；外失距Eb. 计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号－Tc. 计算竖曲线上任意点切线标⾼及改正值：切线标⾼=变坡点的标⾼±（x T -）?i 改正值：221x Ry =d. 计算竖曲线上任意点设计标⾼某桩号在凹形竖曲线的设计标⾼ = 该桩号在切线上的设计标⾼+ y 某桩号在凸形竖曲线的设计标⾼ = 该桩号在切线上的设计标⾼－y3. 竖曲线⾼程计算公式推导已知条件：第⼀条直线的坡度为1i ，下坡为负值，第⼀条直线的坡度为2i ，上坡为正值，变坡点的⾥程为K ，⾼程为H ，竖曲线的切线长为B A T T T ==, 待求点的⾥程为X K 曲线半径R竖曲线特点：抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X 轴沿⽔平⽅向，Y 轴沿竖直⽅向，从⽽保证了X 代表平距，Y 代表⾼程。
抛物线与相邻两条坡度线相切，抛物线变坡点两侧⼀般不对称，但两切线长相等。
竖曲线⾼程改正数计算公式推导设抛物线⽅程为：()021≠++=a c bx ax y设直线⽅程为：()02≠+=k b kx y由图可知，抛物线与直线都经过坐标系222Y O X 的原点2O ,所以可得：00==b c ；分别对21y y 、求导可得：b ax y +=2'1k y ='2当0=x 时，由图可得：b i y ==1'1k i y ==1'2当L x =时，由图可得：12'12i aL i y +==由上式可得：RL L i i a 212212==-=ω所以抛物线⽅程为：x i x Ry 12121+=直线⽅程为：x i y 12=对于竖曲线上任意⼀点P ，到其切线上Q 点处的竖直距离,即⾼程改正数y 为：21122121X RX i X i X R y y y P Q =-+=-= 竖曲线曲线元素推导竖曲线元素有切线长T 、外失距E 和竖曲线长L 三个元素，推导过程如下：由图可知：2tan ω=R T 由于转⾓ω很⼩，所以可近似认为22tan ωω=，因此可得：2ωR T = 由图易得：ωR L =将切线长T 带⼊到221x Ry =中可得外失距RT E 22=4. 曲线⾼程计算⽰例已知：某条道路变坡点桩号为K25+460.00，⾼程为780.72.m ，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m 。
竖曲线标高计算程序
竖曲线标高计算程序（加了数据库）主程序名：SQXBGLbi1：｛H｝：H：Prog＂SJK＂：F=C-D：T=Abs(RF÷2：R=R AbsF÷FH≤B-T=＞K=0：≠=＞H≥B+T=＞K=0：C=D：≠=＞K=H-B+T⊿⊿G=A-（B-H）C-K2÷2R▲Goto1 ――――――――――――――――――――――――――――――――――子程序：SJK H≤第二竖曲线起点桩号（5569.108）=＞A=第一竖曲线交点高程（820.968）：B=第一竖曲线交点桩号（4980）：C=第一竖曲线前坡度（.03）：D=第一竖曲线后坡度（-.02902）：R=第一竖曲线半径（13000）⊿H≤第三竖曲线起点桩号（7174.4）=＞A=第二竖曲线交点高程（798.331）：B=第二竖曲线交点桩号（5760）：C=第二竖曲线前坡度（-.02902）：D=第二竖曲线后坡度（.0187）：R=第二竖曲线半径（8000）⊿H≤第四竖曲线起点桩号（7898.584）=＞A=第三竖曲线交点高程（828.438）：B=第三竖曲线交点桩号（7370）：C=第三竖曲线前坡度（.0187）：D=第三竖曲线后坡度（.035）：R=第三竖曲线半径（24000）⊿………………………继续添加要素――――――――――――――――――――――――――――――――――说明：1、A：交点高程2、B：交点桩号3、C：前坡度（上坡为正，下坡为负）4、D：坡度（上坡为正，下坡为负）5、R：竖曲线半径6、H：待求点桩号7、数据库中（）内的数字用于网友试算，现根据（）内的数据提供几个设计高程：H=5400 G=808.7796H=5450 G=807.3286H=6000 G=802.819H=6112 G=804.9134H=6980 G=821.145今天终于讲到了Excel函数的最后一部分——文本和数据函数。
再往后我们会陆续给大家介绍一些函数应用实例，每一则都会有详细的分析与指导，让您把理论上升为实际，敬请关注。
竖曲线的计算方法
竖曲线铁路线路的纵断面最理想的当然是平道，然而事实上是不可能的，为了适应地形的起伏，以减少工程量，纵断面必须用各种不同的坡面连接而成。
两相邻坡段的连续点谓之变坡点。
相邻坡段的坡度差是两相邻坡段的坡度代数差。
当相邻坡段的坡度差超过允许值时，为了保证行车平顺和安全，应在变坡点处用竖曲线连接起来。
允许不设竖曲线的坡度差允许值是根据车轮不脱轨、车钩不脱钩、列车不撞车和行车平稳等要求进行分析确定的。
一般情况下，竖曲线采用圆曲线，也可以采用抛物线，个别情况下，还可以采用连续短坡曲线。
竖曲线的计算一、圆曲线形竖曲线圆曲线形竖曲线的几何要素和各点设计标高，可按下列公式计算，如图。
R α x T TyRCα/2 BAi1i21、竖曲线的切线长度TT=R·tan(α/2)=R/2·tanα=R/2·△i‰=R/2000·△i(m) (5-1)式中 R-竖曲线半径(m)；α-竖曲线转角(度)；△i-相邻坡段的坡度代数差(‰)。
R=5000m时， T=2.5△i(m)R=10000m时，T=5.0△i(m)R=15000m时，T=7.5△i(m)R=20000m时，T=10.0△i(m)R=25000m时，T=12.5△i(m)2、竖曲线长度CC≈2T=R/1000·△i(m) (5-2)3、竖曲线纵距yy=x2/2R (m) (5-3)式中 x-竖曲线上计算点至竖曲线起(终)点的横距(m)。
当x=T时，变坡点的纵距Y即为竖曲线的外矢距E。
Y=E=T2/2R=1/2R(C/2)2=C2/8R (5-3.1)4、竖曲线上各点的设计标高H设h为计算点的坡度标高，则H=h±y (5-4)式中的y值，凹形取“+”，凸形取“-”。
【算例一】一凹形竖曲线i1=-4‰，i2=+2‰，△i=6‰，变坡点的里程为K235+165，标高为54.60m，R=15000m，计算竖曲线上各20m点的设计标高。
平曲线要素计算公式(给学生用的)
精心整理第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线采用抛物线拟合。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i 1和i 2,代数差为ω=i 2-i 1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R:（前提：ω很小）L=R ω竖曲线切线长：T=L/2=R ω/2竖曲线上任一点竖距h ：（2）曲线主点桩号计算：ZH(桩号)=JD(桩号)-THY(桩号)=ZH(桩号)+l sQZ(桩号)=HZ(桩号)-L/2YH(桩号)=HY(桩号)+L yHZ(桩号)=YH(桩号)+l sJD(桩号)=QZ(桩号)+J/230-3 336629-3 4028)-(3 )(227-3 2sec )(26-3 225-3 2ls 180)2(m 18024)-(3 2)(23)-(3 9022)-(3 23842421)-(3 )( 240234202300034223m Rl R l y m Rl l x m L T J m R p R E m l L L R l R L m q tg p R T R l m R l R l p m R l l q s s s s s Y s s s s s s -=-=-=-⋅+=-=+⋅⋅-=+⋅⋅=+⋅+=︒⋅︒=-=-=απβααπαπβ竖曲线外距：[例1]、某山岭区二级公路，变坡点桩号为K5+030.00，标高为427.68m，变坡点桩号的地面高程为450.65m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程，BPD 的设计高程与施工高。
解：1.计算竖曲线要素ω=|i2-i1|=|-0.04-0.05|=0.09，为凸型。
曲线长L=Rω=2000×0.09=180m切线长T=L/2=180/2=90m外距E=T2/2R=902/2×2000=2.03m2.计算设计高程竖曲线起点桩号=（K5+030.00）-90=K4+940.00竖曲线起点高程=427.68-90×0.05=423.18竖曲线终点桩号=（K5+030.00）+90=K5+120.00竖曲线终点高程=427.68-90×0.04=424.08桩号K5+000.00处：横距K5x1=（K5+000.00）-（K4+940.00）=60m竖距h1=x12/2R=602/2×2000=0.90m切线高程=427.68-（90-60）×0.05=426.18m423.18+60×0.05=426.18设计高程=426.18-0.90=425.28m桩号K5+100.00处：横距x2=(K5+120.00)-(K5+100.00)=20m竖距h2=x22/2R=202/2×2000=0.1m切线高程=427.68-（90-20）×0.04=424.88m设计高程=424.88-0.1=424.78m横距x2=(K5+100.00)-(K4+940.00)=160m竖距h2=x22/2R=1602/2×2000=6.4m切线高程=423.18+160×0.05=431.18m设计高程=431.18-6.40=424.78mBPD设计高程=427.68-E=425.65mBPD施工高=设计高程-地面高程=425.65-450.65=-25m，应为挖方。
第五章：竖曲线设计介绍
8000
60
9000
6000
40
3000
2000Βιβλιοθήκη （2）半径的选择选择竖曲线半径主要应考虑以下因素： 1)选择半径应符合表所规定的竖曲线的最小半径和最小长度 的要求。 2)在不过分增加土石方工程量的情况下，为使行车舒适，宜 采用较大的竖曲线半径。 3)结合纵断面起伏情况和标高控制要求，确定合适的外距值 ，按外距控制选择半径：
1. 竖曲线的计算
(1) 用二次抛物线作为竖曲线的基本方程式 二次抛物线一般方程为
y 1 x 2 ix 2k
i dy x i dx k
当x 0时,
i i1;
x L时,
i
L k i1
i2 ,
则
k L L
i2 i1
抛物线上任一点的曲率半径为
R
ω为正，变坡点在曲线下方，竖曲线开口向上，为凹形竖曲 线；ω为负，变坡点在曲线上方，竖曲线开口向下，为凸形 竖曲线。
各级道路在变坡点处均应设置竖曲线。 竖曲线的线形采用二次抛物线。由于在其应用范围内，圆
曲线与抛物线几乎没有差别，因此，竖曲线通常表示成圆 曲线的形式，用圆曲线半径R来表示竖曲线的曲率半径。
(3)
将（2）式和（3）式代入（1）式，得二次抛物线竖曲线基本
方程式为
y
2L
x2
i1x
或
y
1 2R
x2
i1x
式中：ω ——坡差 （％）；
Ｌ——竖曲线长度 （m）；
Ｒ——竖曲线半径 （m）。
(2) 竖曲线几何要素计算 竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T、曲线长L和外距E。
平曲线要素计算公式-(2)
第三节 竖曲线 （2）曲线主点桩号计算： ZH(桩号)=JD(桩号)-T HY(桩号)=ZH(桩号)+l s QZ(桩号)=HZ(桩号)-L/2 YH(桩号)=HY(桩号)+L y HZ(桩30-3 336629-3 4028)-(3 )(227-3 2sec )(26-3 225-32ls 180)2(m 18024)-(3 2)(23)-(3 9022)-(3 23842421)-(3 )( 240234202300034223m R l R l y m R ll x m L T J m R p R E m l L L R l R L m q tg p R T R l m R l R l p m R l l q ss s s s Y s sss ss-=-=-=-⋅+=-=+⋅⋅-=+⋅⋅=+⋅+=︒⋅︒=-=-=απβααπαπβ纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：[例1]、某山岭区二级公路，变坡点桩号为K5+030.00，高程为427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程。
解：1.计算竖曲线要素ω= |i2-i1|= |-0.04-0.05| =0.09，为凸型。
曲线长L=Rω=2000×0.09=180m切线长T=L/2=180/2=90m外距E=T2/2R=902/2×2000=2.03m2.计算设计高程竖曲线起点桩号=（K5+030.00）-90=K4+940.00竖曲线起点高程=427.68-90×0.05=423.18竖曲线终点桩号=（K5+030.00）+90=K5+120.00竖曲线终点高程=427.68-90×0.04=424.08桩号K5+000.00处：横距K5x1=（K5+ 000.00）-（K4+940.00）=60m竖距h1=x12/2R=602/2×2000=0.90m切线高程=427.68-（90-60）×0.05=426.18m423.18+60×0.05=426.18设计高程=426.18-0.90=425.28m桩号K5+100.00处：横距x 2=(K5+120.00)-(K5+100.00)=20m竖距h 2=x 22/2R=202/2×2000=0.1m切线高程=427.68-（90-20）×0.04=424.88m设计高程=424.88-0.1=424.78m横距x 2=(K5+100.00)-(K4+940.00)=160m竖距h 2=x 22/2R=1602/2×2000=6.4m切线高程=423.18+160×0.05=431.18m设计高程=431.18-6.40=424.78m[例2]平原区某二级公路有一弯道，偏角α右=15°28′30″，半径R=600m ，缓和曲线长度Ls=70m ， JD=K2+536.48。
竖曲线的形式及高程计算
一、设置竖曲线的要求铁路线路所包含的坡度除平坡外，有上坡、下坡。
所谓坡度，即铁路线路的高程变化率，用千分率表示，就是每1000m水平距离高程上升或下降的数值，通常用符号“+、-、0”依次表示上坡、下坡或平坡。
在进行纵断面设计时，相邻两坡段的交点叫变坡点，两变坡点之间的水平距离叫坡段长度。
《铁路线路设计规范》规定：工、Ⅱ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于3％0和Ⅲ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于4‰时，需用竖曲线连接。
竖曲线的形状主要分为圆曲线形和抛物线形两种。
《新建客货共线铁路设计暂行规定》规定：纵断面宜设计为较长的坡段，相邻坡段的连接宜设计为较小的坡度差。
旅客列车设计行车速度为200 km／h的路段，最小坡段长度不宜小于600m，困难条件下最小坡段长度不应小于400m，且最小坡段长度不得连续使用2个以上。
旅客列车设计行车速度为160km／h的路段，最小坡段长度不宜小于400m，且最小坡段长度不宜连续使用2个以上。
竖曲线不得与缓和曲线、相邻竖曲线重叠设置，也不得设在明桥面和正线道岔内。
二、竖曲线的计算方法1.圆曲线形竖曲线计算《铁路线路设计规范》规定：Ⅰ、Ⅱ级铁路竖曲线半径为10000m Tv=5 X △i ，Ⅲ级铁路竖曲线半径为5000m。
Tv=2.5 X △i(1)竖曲线的切线长Tv=Rv ×tan a/2 = Rv/2 ×tan a= Rv/2000 × △i △i=△i2-△i1 的绝对值Tv－竖曲线的切线长(m)；Rv--竖曲线半径，a----竖曲线转角，△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)。
(2)竖曲线的曲线长C≈2T。
(3)竖曲线的纵距竖曲线的纵距即竖曲线上任意点与切线上相邻点的标高差，用y表示，即y=x2/2Rv式中Y－竖曲线的纵距(m)；x－竖曲线上任意点距竖曲线始点或终点的距离(m)；(4)竖曲线标高H=Hp±y 式中H－竖曲线标高(m)；Hp－计算点坡度线标高，【例题】某一级铁路，有一圆曲线形竖曲线(如图3－20所示)，竖曲线中点里程为K24+400，标高为65.7 m，上坡i1=+2‰，下坡i2=-4‰，试计算竖曲线上每20 m点的标高。
铁路工务业务常用公式
铁路工务业务常用公式一、道岔部分支距起、终点计算公式：Ai=u×(Lo＋h)/Lo yn=S－(K/N)中间各支距计算公式：Bi=u/Lo×i Ci=h&sup2;/2R×i&sup2;u:尖轨跟距 h：横距 k：终端直线段长度 S：轨距 N：岔号i:序号理论弯折量=尖轨尖至基本轨接头长/尖轨长×（尖轨跟轨距+尖轨跟距-尖轨尖轨距）-（尖轨尖轨距-1435）实际弯折量=理论弯折量×1.6辙叉前开口量=辙叉前长/N 辙叉后开口量=辙叉后长/N警冲标到连接曲线中心距：Wa=40500/R﹢HL/1500岔后两股钢轨长度差：⊿l=S×L曲/R二、曲线部分超高计算公式：H=11.8v&sup2;/R检算公式：未被平衡欠超高Hc=11.8v&sup2;/R－H （不大于75mm;v&sup2;是最高客车速度）未被平衡欠超高Hg=H －11.8v&sup2;/R （不大于30mm;v&sup2;是货物列车速度）曲线正矢计算公式：f=50000/R(弦长20米) f=125000/R（弦长10米）f平=实量正矢合计/圆曲部分长分段数（缓曲长分段数一半+圆曲部分长分段数）圆曲线始终点附近测点正矢=圆曲线计划正矢×测点纵距率缓和曲线正矢递增量=f/n缓和曲线始点附近点正矢=缓和曲线正矢递增量×该点纵距率缓和曲线终点附近点正矢=圆曲线正矢—缓和曲线正矢递增量×该点纵距率曲线中央点=实量正矢倒累合计/实量正矢合计曲线长=实量正矢合计/f×10曲线长分段数=实量正矢合计/f曲线头=曲线中点—曲线长分段数/2曲线尾=曲线中点﹢曲线长分段数/2缓和曲线长=9×H×V缓和曲线长=H×1000缓和曲线长分段数=H/10直缓（ZH）=曲线头—缓和曲线长分段数/2缓圆（HY）=曲线头＋缓和曲线长分段数/2圆缓（YH）=曲线尾—缓和曲线长分段数/2缓直（HZ）=曲线尾＋缓和曲线长分段数/2拨后轨缝影响量=（平均拨道量×拨道地段长）/曲线半径任一点拨量=实量正矢+拨量—（前点拨量+后点拨量）/2圆曲线部分的缩短量=1500×圆曲线长/曲线半径一端缓和曲线的缩短量=1500×一端缓和曲线长/（2曲线半径长）缓和曲线里股任意点的缩短量=1500×（缓和曲线始点至计算点的长度）&sup2;/ 2×曲线半径×一端缓和曲线长整个曲线的缩短量=圆曲线缩短量+两端缓和曲线的缩短量缩短轨根数的计算=总缩短量/一根缩短轨的缩短量（根） Lo＜L(1-S/R)圆曲线型竖曲线计算公式:竖曲线的切线长：Ⅰ、Ⅱ级线路Tv=5⊿i Ⅲ级铁路Tv=2.5⊿i竖曲线的曲线长：G≈2Tv⊿i:相邻坡段坡度的代数差竖曲线的纵距：y=x&sup2;/Rv x：竖曲线上任意点距竖曲线始（终）点的距离竖曲线标高：H=Hp±y Hp：计算点坡度标高抛物线型竖曲线计算公式：竖曲线的切线长：C=（⊿i/r)×20 r:每20米长度的变坡率竖曲线的曲线长：Tv=C/2 竖曲线的纵距：y=rx&sup2;/40000两股钢轨长度差=SL/R内股钢轨长度=L-长度差/2外股钢轨长度=L=长度差/2三、无缝线路部分伸缩量⊿l=a×L×⊿t a：膨胀系数（0.0118）温度力Pt=250×F×⊿t F：轨钢断面积（50轨65.8，60轨77.45）轨缝公式：ao=a×L(tz—to)＋1/2g tz=（T高＋T低）/2 g：构造轨缝（18）四、其它部分两线间距加宽公式：WA=84500/R＋(Hh×4000)/s轨枕间距公式：过渡间距a=(L－2C)/(n－2) c：接头间距其余间距b=[L－C－(n－3)a]/2速度计算：v=3.6×距离/时间。