竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程

竖曲线高程计算公式推导及计算流程

1.竖曲线介绍

竖曲线是指在纵断面内，两个坡线之间为了延长行车视距或者减小行车的

冲击力，而设计的一段曲线。一般可以用圆曲线和抛物线来充当竖曲线。由于圆曲线的计算量较大，所以，通常采用抛物线作为竖曲线，以减少计算量。

2.竖曲线高程计算流程

竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：

a.计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L ；切线长T ；外失距E

b.计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号－T

c.计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：切线标高=变坡点的标高±（x T -）⨯i 改正值： 2

21x R

y =

d.计算竖曲线上任意点设计标高

某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高+ y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－y

3.竖曲线高程计算公式推导

已知条件：

第一条直线的坡度为，下坡为负值，1i 第一条直线的坡度为，上坡为正值，2i 变坡点的里程为K ，高程为H ，竖曲线的切线长为,B A T T T ==待求点的里程为X K 曲线半径R

竖曲线特点：

抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X 轴沿水平方向，Y 轴沿竖直方向，从而保证了X 代表平距，Y 代表高程。

抛物线与相邻两条坡度线相切，抛物线变坡点两侧一般不对称，但两切线长相等。

竖曲线高程改正数计算公式推导设抛物线方程为：

()021≠++=a c bx ax y 设直线方程为：

()

02≠+=k b kx y 由图可知，抛物线与直线都经过坐标系的原点,所以可得：

222Y O X 2O 0

0==b c ；分别对求导可得：

21y y 、b

ax y +=2'1k

y ='2当时，由图可得：

0=x b

i y ==1'1k

i y ==1'2

当时，由图可得：

L x =12'12i aL i y +==由上式可得：

R L L i i a 21

2212==-=

ω所以抛物线方程为：

x i x R

y 12

121+=

直线方程为：

x

i y 12=对于竖曲线上任意一点P ，到其切线上Q 点处的竖直距离,即高程改正数为：

y 2

1122121X R

X i X i X R y y y P Q =-+=

-=竖曲线曲线元素推导

竖曲线元素有切线长T 、外失距E 和竖曲线长L 三个元素，推导过程如下：

由图可知：

2tan

ω

=R

T 由于转角很小，所以可近似认为，因此可得：

ω2

2

tan

ω

ω

=

2

ωR T =

由图易得：ωR L =将切线长T 带入到中可得2

21x R

y =

外失距R

T E 22

=

4.曲线高程计算示例

已知：

某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m ，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m 。

问：

（1）判断凸、凹性； （2）计算竖曲线要素；

（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。

解：（1）由于0%2.4%8.0%512>=-=-=i i ω所以竖曲线为凹曲线（2）切线长m R T 1052

%

2.450002=⨯==

ω 曲线长m

R L 210%2.45000=⨯==ω 外失距m R T E 1025.150********

2=⨯==

（3）起点里程=K25+460.00-105=K25+355

起点至变坡点高程改正数为m

T i y 84.0105%8.012=⨯==所以起点高程779.88m 0.84-780.72==因为终点里程=K25+460.00+105=K25+565

终点至变坡点高程改正数为m T i y 25.5105%522=⨯==所以终点高程785.97m

25.5780.72=+=可以断定D1=K25+400.00、D2=K25+460.00、D3=K25+500.00三个点都在竖曲线上，因此分别计算D1、D2点距起点的平距得：

451=D X 105

2=D X 分别计算D1、D2点切线标高及改正值：

m

H 24.78045%8.088.7791=⨯+=m x R y 2025.0455000

2121221=⨯⨯==

m

H 72.780105%8.088.7792=⨯+=

m x R y 1025.11055000

2121222=⨯⨯==

所以m

H D 4425.7802025.024.7801=+=m H D 8225.7811025.172.7802=+=D3点距终点的距离为：

m

X D 653=分别计算D3点切线标高及改正值：

m

H 72.78265%597.7853=⨯-=m x R y 4225.0655000

2121223=⨯⨯==

m

H D 1425.7834225.072.7823=+=