竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程
竖曲线高程计算
竖曲线高程计算（fx-4800）（1）Lbl 0：H：B：R：I：J：{L}：T=R Abs(J-I) ÷2←C=B-L←I＜J=>F=1：≠=>I＞J=>F=－1△△←L≦0=>{HRBIJ}：Goto 0≠=>L＜B－T=>Z＝0：P=I≠=>L＜B=>Z=1：P=I：≠=>L＜B＋T=>Z=1：P=J：≠=>Z=0：P=J△△△G=H-CP+ZF(T-Abs C) ²÷2÷R▲Goto 0说明：H：变坡点高程B：变坡点里程L：线路上所求点里程I：前纵坡J：后纵坡T：竖曲线切线长竖曲线半径本程序可及计算范围（前竖曲线的终点至后竖曲线的起点），当L=0时可重新输入起算要素（H，B，R，I，J）进行下一段竖曲线和直线的高程计算。
边桩及路面以下任意厚度高程计算：变量变为：{LNM }主公式变为：G=H-N-CP+ZF（T-Abs C）²÷2÷R▲V=G+ME▲Goto 0N：路面至各施工层的厚度（m）M：中桩至边桩的距离E：路拱（路面横坡）V：左右边桩高程竖曲线高程计算（2）Lbl 1：{N }：N=1＝＞Goto 3：≠＝＞N=2＝＞Goto 4△←Lbl 2：{L}：T=R Abs(J-I) ÷2←C=B-L←I＜J=>F=1：≠=>I＞J=>F=－1△△←L＜3090=>Goto 1：≠=>L＜B－T=>Z＝0：P=I：≠=>L＜B=>Z=1：P=I：≠=>L＜B＋T=>Z=1：P=J：≠=>Z=0：P=J△△△G=H-CP+ZF(T-Abs C) ²÷2÷R▲Goto 1←Lbl 3：L≧3090＝＞H=563.532：B=3860：R=55000：I=0.025：K=4526：L=0.0175←L≧K＝＞H=580.157：B=4810：R=16000：I=0.0175：K=5503.582：L=-0.018←L≧K＝＞H=564.137：B=5700：R=10100：I=-0.018：K=6204：L=0.02089←L≧K＝＞H=579.599：B=6440：R=121193.615：I=0.02089：K=6676：L=0.017←L≧K＝＞H=589.119：B=7000：R=16000：I=0.017：K=7324：L=-0.0235←Goto 2←Lbl 4：L≧3090＝＞H=563.532：B=3860：R=56000：I=0.025：K=4649：L=0.0175←L≧K＝＞H=581.382：B=4880：R=12000：I=0.0175：K=5464.117：L=-0.021←L≧K＝＞H=564.162：B=5700：R=11100：I=-0.021：K=6204：L=0.0215←L≧K＝＞H=580.073：B=6440：R=104856.927：I=0.0215：K=6676：L=0.017←L≧K＝＞H=589.593：B=7000：R=16000：I=0.017：K=7324：L=-0.0235←Goto 2←。
竖曲线任意一点的高程计算
竖曲线任意一点的高程计算竖曲线任意一点的高程计算竖曲线是公路设计中常见的一种曲线，其特点是沿竖直方向变化，可以有效地调节路段高度差。
在公路建设工程中，如果要进行竖曲线的施工，需要进行竖曲线任意一点的高程计算。
竖曲线任意一点的高程计算是公路设计的重要环节，其准确度直接关系到公路的安全性和通行效率。
本文将介绍竖曲线任意一点的高程计算方法，以及需要考虑的相关因素。
一、竖曲线高程计算方法竖曲线的高程计算是向下估算和向上估算的综合计算。
在竖曲线中，设置了一些控制点，可以通过这些控制点进行高程计算。
竖曲线任意一点的高程计算公式如下：①高程估算公式向下估算点的高程：H=Ha-S*S/(2L)+F+S/2向上估算点的高程：H=Hb-S*S/(2L)+F-S/2其中，H为估算点高程；Ha、Hb为起点和终点的高程；L为竖曲线长度；S为竖曲线下垂量；F为对应点的垂线距离。
②竖曲线长度L=S*360/ (2 π R)其中，R为竖曲线半径。
③竖曲线下垂量计算设置竖曲线的下垂量为1m时，竖曲线的半径R=(5730*(1000-1))/1.5^2≈33.633公里二、竖曲线应考虑的因素1. 竖曲线的长短在进行竖曲线高程计算时，需要根据竖曲线的长度进行计算。
竖曲线的长度对于高程计算有着重要的影响，长短不一的竖曲线需要采取不同的高程计算方法。
2. 竖曲线的变化竖曲线的变化对于高程计算的准确性有着严重影响。
在竖曲线变化过程中，需要对竖曲线进行多个控制点的设置，以实现高程计算的准确性。
3. 竖曲线的斜度竖曲线的斜度对高程计算也有着直接的影响。
斜度过大会导致竖曲线下垂量变小，从而使高程计算不准确。
因此，在进行竖曲线施工时，需要严格控制斜度的大小。
4. 竖曲线的半径竖曲线半径也是进行竖曲线高程计算的关键因素之一。
半径过大或过小都会对高程计算的准确性产生影响。
结论本文介绍了竖曲线任意一点的高程计算方法，以及需要考虑的相关因素。
在进行竖曲线设计时，需要综合考虑以上因素，以确保竖曲线的高程计算准确无误。
竖曲线、纵断面高程计算程序
竖曲线、纵断面高程计算程序 5800P主程序文件名：SQX“R”?A:”I1”?C:”I2”?D:”K(BIAN-PO)”?E:”H(BIAN-PO)”?F “T=”:A×Abs(D-C)/2→B“K(QI-DIAN)” :E-B→H“K(ZHONG-DIAN)” :E+B→L“LY=”:L-H→MIf C>D:Then -1→T:IfEnd：If C<D:Then 1→T:IfEndLbl 0：?K：Abs（E-K）→S:If S>B:Then Goto 4：IfEnd：If E≥K:Then Goto 1：IfEnd：If E<K:Then Goto 2：IfEnd Lbl 1：F-SC+T(B-S)^2÷2÷A→G:Goto 3Lbl 2：F+SD+T(B-S)^2÷2÷A→G:Goto 3Lbl 3：”H(SHE JI)=”: G“H(SHI CE)”?NN-G→ZIf Z>0:Then “GAO=“：ZIfEndIf Z0:Then –Z→Z:“DI=“：Z IfEndGoto 0Lbl 4：If K H：Then E-K→O: F-OC→G：IfEnd ：If K≥L：Then K-E→O: F+OD→G：IfEnd：Goto 31、功能：计算任何形式、任意变坡点前后中桩纵断面设计高程。
2、程序说明：R:竖曲线半径I1、I2-变坡点前后坡度（上坡为正，下坡为负）K（BIAN PO）-变坡点里程桩号H(BIAN PO)-变坡点高程T-竖曲线切线长K(QI DIAN)为竖曲线起点里程K(ZHONG DIAN)为竖曲线终点里程LY;竖曲线长度K:待求点里程H(SHE JI):设计高程H(SHI CE):实测高程GAO：(实际比设计高)DI：(实测比设计低)纵 坡 、 竖 曲 线 表竖 曲 线 纵 坡（％）序 号变坡点里程标 高（m）曲线半径R （m） 切线长T （m） 外距E （m）起点桩号 终点桩号 i1 i2 8 K29+025 1887.315 15000 75.000 0.187 K28+950 K29+100 -0.7 0.3 10 K29+575 1901.890 5000 62.500 0.391 K29+512.500 K29+637.500 5.0 2.5 13 K30+585 1910.284 4500 71.992 0.576 K30+513.008 K30+656.992 1.8 5.0 14 K31+380 1950.034 1800 83.700 1.946 K31+296.300 K31+463.700 5.0 -4.3 15 K31+825 1931.318 12000 72.000 0.216 K31+753 K31+897 -4.3 -3.1 33K37+7801893.2482000070.0000.123K37+710K37+850-0.3-1.0验算数据里程 K28+940.00 K28+960.00 K29+080.00 K29+120.00 设计标高 1887.91 1887.773 1887.493 1887.6 里程 K29+500.00 K29+520.00 K29+620.00 K29+660.00 设计标高 1898.14 1899.134 1902.984 1904.015 里程 K30+511.04 K30+531.04 K30+631.04 K30+671.04 设计标高 1908.952 1909.348 1912.661 1914.586 里程 K31+280.00 K31+300.00 K31+440.00 K31+480.00 设计标高 1945.034 1946.03 1947.43 1945.734 里程 K31+740.54 K31+760.54 K31+880.54 K31+920.54 设计标高 1934.95 1934.092 1929.607 1928.373 里程 K37+700.00 K37+720.00 K37+840.00 K37+860.00 设计标高1893.488 1893.425 1892.645 1892.448。
竖曲线计算公式及计算方法
⒈超高①超高方式：中央分隔带保持水平，超高将两侧行车道绕中央分隔带边缘点旋转(包括路肩点)。
②超高段横断面高程计算图11AA AAAAAA2-23-34-4-I％图12⒉横坡度计算外侧横坡度：ILLEIICXX-+=)(；(公式中的I、E均取正值，下同。
)公式 1内侧横坡度：ILIEILLIEILIEICCCXX+*+-*+--=22)((。
公式 2EBEB式中：2 I/(E+I)* L C—在L C段内横坡等于I％的长度,m。
X在区间0～2 I/(E+I)*LC时，横坡度为I；在区间2 I/(E+I)* L C～L C段内时，横坡度为I～E。
I—横坡度设计值，E—超高设计值，L C—缓和曲线长，m。
⒊竖曲线计算公式：W=I1-I2；当w＞0时，为凸曲线；当w＜0时，为凹曲线。
L=R*W；E=T2/2R；H=l2/2r；T=TA=TB=L/2=R*W/2。
式中：H—切线上任一点至竖曲线上的垂直距离；M．l—曲线上相应于H的P点至切点A或B点的距离，M．R—二次抛物线的参数。
(原点处的曲率半径)通常称竖曲率半径，M．I1、I2—切线的斜率，即纵坡度，％．纵坡度(％)，从左向右上坡取“+”，下坡取“-”值．当α很小时，tanα1≈α1=I1, tan α2≈α2=I2。
T—切线长(M)，ZH路线平面图L—竖曲线的曲线长(M)。
道路曲线高程计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)--(转载)
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲...首次分享者：伊丽莎白已被分享1次评论(0)复制链接分享转载删除高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)--（转载）春春[ft=,+0,]一、缓和曲线上的点坐标计算[ft=,+0,]已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l[ft=,+0,]②圆曲线的半径：R[ft=,+0,][ft=,+0,]③缓和曲线的长度：l0[ft=,+0,]④转向角系数：K(1或－1)[ft=,+0,]⑤过ZH点的切线方位角：α[ft=,+0,][ft=,+0,]⑥点ZH的坐标：xZ，yZ[ft=,+0,]计算过程：[ft=,+0,][ft=,+0,]说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，[ft=,+0,]公式中n的取值如下：[ft=,+0,][ft=,+0,]当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：[ft=,+0,]l为到点HZ的长度[ft=,+0,]α为过点HZ的切线方位角再加上180°[ft=,+0,]K值与计算第一缓和曲线时相反[ft=,+0,]xZ，yZ为点HZ的坐标[ft=,+0,][ft=,+0,]切线角计算公式：[ft=,+0,]二、圆曲线上的点坐标计算[ft=,+0,]已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l[ft=,+0,]②圆曲线的半径：R[ft=,+0,][ft=,+0,]③缓和曲线的长度：l0[ft=,+0,]④转向角系数：K(1或－1)[ft=,+0,]⑤过ZH点的切线方位角：α[ft=,+0,][ft=,+0,]⑥点ZH的坐标：xZ，yZ[ft=,+0,]计算过程：[ft=,+0,][ft=,+0,]说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，[ft=,+0,]公式中n的取值如下：[ft=,+0,][ft=,+0,]当只知道HZ点的坐标时，则：[ft=,+0,]l为到点HZ的长度[ft=,+0,]α为过点HZ的切线方位角再加上180°[ft=,+0,]K值与知道ZH点坐标时相反[ft=,+0,]xZ，yZ为点HZ的坐标[ft=,+0,][ft=,+0,][ft=,+0,]三、曲线要素计算公式[ft=,+0,][ft=,+0,]公式中各符号说明：[ft=,+0,]l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）[ft=,+0,]l1——第一缓和曲线长度[ft=,+0,]l2——第二缓和曲线长度[ft=,+0,]l0——对应的缓和曲线长度[ft=,+0,]R——圆曲线半径[ft=,+0,]R1——曲线起点处的半径[ft=,+0,]R2——曲线终点处的半径[ft=,+0,]P1——曲线起点处的曲率[ft=,+0,]P2——曲线终点处的曲率[ft=,+0,]α——曲线转角值[ft=,+0,][ft=,+0,]四、竖曲线上高程计算[ft=,+0,]已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)[ft=,+0,]②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)[ft=,+0,][ft=,+0,]③变坡点桩号：SZ [ft=,+0,][ft=,+0,]④变坡点高程：HZ [ft=,+0,]⑤竖曲线的切线长度：T[ft=,+0,]⑥待求点桩号：S[ft=,+0,][ft=,+0,]计算过程：[ft=,+0,][ft=,+0,]五、超高缓和过渡段的横坡计算[ft=,+0,][ft=,+0,]已知：如图，[ft=,+0,][ft=,+0,]第一横坡：i1[ft=,+0,][ft=,+0,]第二横坡：i2[ft=,+0,]过渡段长度：L[ft=,+0,]待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x[ft=,+0,]求：待求处的横坡：i[ft=,+0,]解：d=x/L[ft=,+0,][ft=,+0,]i=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1[ft=,+0,][ft=,+0,]六、匝道坐标计算[ft=,+0,]已知：①待求点桩号：K[ft=,+0,][ft=,+0,]②曲线起点桩号：K0[ft=,+0,][ft=,+0,]③曲线终点桩号：K1[ft=,+0,][ft=,+0,]④曲线起点坐标：x0，y0[ft=,+0,][ft=,+0,]⑤曲线起点切线方位角：α0[ft=,+0,]⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”) [ft=,+0,]⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”) [ft=,+0,]求：①线路匝道上点的坐标：x,y[ft=,+0,][ft=,+0,]②待求点的切线方位角：αT[ft=,+0,]计算过程：[ft=,+0,][ft=,+0,][ft=,+0,]注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
竖曲线高程测设实训报告
一、实训目的通过本次竖曲线高程测设实训，使同学们掌握竖曲线的基本原理、计算方法和实际操作技能，提高同学们在工程建设中对高程测设的实践能力。
二、实训内容1. 竖曲线的基本原理及分类竖曲线是一种曲线，其形状呈曲线，两端分别连接两条直线，且曲线两端的高程差相等。
竖曲线分为凸形竖曲线和凹形竖曲线两种，分别适用于道路、铁路等工程中的上下坡段。
2. 竖曲线的计算方法（1）凸形竖曲线计算：① 按照高程差公式计算：H = H1 - H2 = (E1 - E2) × (L - L0) / (2R)其中，H为高程差，H1为起点高程，H2为终点高程，E1为起点水平距离，E2为终点水平距离，L为曲线长度，L0为曲线起点水平距离，R为曲线半径。
② 按照高程累积公式计算：H = H1 - H2 = (L - L0) × (d / 2R)其中，d为曲线两端的高程差，R为曲线半径。
（2）凹形竖曲线计算：① 按照高程差公式计算：H = H2 - H1 = (E2 - E1) × (L - L0) / (2R)② 按照高程累积公式计算：H = H2 - H1 = (L - L0) × (d / 2R)3. 竖曲线高程测设操作步骤（1）现场踏勘：了解地形地貌、地物分布、道路线形等情况，确定曲线位置。
（2）确定曲线半径：根据设计要求或现场实际情况，确定曲线半径。
（3）计算曲线长度：根据曲线半径，按照计算公式计算曲线长度。
（4）设置曲线起点和终点：根据曲线长度和半径，确定曲线起点和终点位置。
（5）设置曲线控制点：在曲线起点和终点之间，按照设计要求或现场实际情况，设置曲线控制点。
（6）测量控制点高程：使用水准仪或全站仪等测量仪器，对曲线控制点进行高程测量。
（7）计算曲线高程：根据曲线控制点高程和曲线半径，按照计算公式计算曲线高程。
（8）绘制曲线图：根据曲线控制点高程和曲线半径，绘制曲线图。
三、实训过程1. 理论学习：首先，我们学习了竖曲线的基本原理、计算方法和实际操作步骤。
高速公路线路缓和曲线竖曲线圆曲线匝道坐标计算公式
高速公路线路缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道坐标计算公式_★★高速公路的一些线路坐标、高程计算公式缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K1或－1⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ,yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时,K=1,为右转向时,K=-1,公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时,则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ,yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K1或－1⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ,yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时,K=1,为右转向时,K=-1,公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时,则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ,yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度或缓曲上任意点到缓曲起点的长度l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1上坡为“＋”,下坡为“－”②第二坡度：i2上坡为“＋”,下坡为“－”③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图,第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点过渡段终点的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=i2-i11-3d2+2d3+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0,y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0左转为“－”,右转为“＋”⑦曲线终点处曲率：P1左转为“－”,右转为“＋”求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgnx函数是取符号函数,当x<0时sgnx=-1,当x>0时sgnx=1,当x=0时sgnx=0;在计算器中若无此函数可编一个小子程序代替;转载自：。
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竖曲线高程计算公式推导及计算流程
1.竖曲线介绍
竖曲线是指在纵断面内，两个坡线之间为了延长行车视距或者减小行车的
冲击力，而设计的一段曲线。
一般可以用圆曲线和抛物线来充当竖曲线。
由于圆曲线的计算量较大，所以，通常采用抛物线作为竖曲线，以减少计算量。
2.竖曲线高程计算流程
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
a.计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L ；切线长T ；外失距E
b.计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号－T
c.计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：切线标高=变坡点的标高±（x T -）⨯i 改正值： 2
21x R
y =
d.计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高+ y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－y
3.竖曲线高程计算公式推导
已知条件：
第一条直线的坡度为，下坡为负值，1i 第一条直线的坡度为，上坡为正值，2i 变坡点的里程为K ，高程为H ，竖曲线的切线长为,B A T T T ==待求点的里程为X K 曲线半径R
竖曲线特点：
抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X 轴沿水平方向，Y 轴沿竖直方向，从而保证了X 代表平距，Y 代表高程。
抛物线与相邻两条坡度线相切，抛物线变坡点两侧一般不对称，但两切线长相等。
竖曲线高程改正数计算公式推导设抛物线方程为：
()021≠++=a c bx ax y 设直线方程为：
()
02≠+=k b kx y 由图可知，抛物线与直线都经过坐标系的原点,所以可得：
222Y O X 2O 0
0==b c ；分别对求导可得：
21y y 、b
ax y +=2'1k
y ='2当时，由图可得：
0=x b
i y ==1'1k
i y ==1'2
当时，由图可得：
L x =12'12i aL i y +==由上式可得：
R L L i i a 21
2212==-=
ω所以抛物线方程为：
x i x R
y 12
121+=
直线方程为：
x
i y 12=对于竖曲线上任意一点P ，到其切线上Q 点处的竖直距离,即高程改正数为：
y 2
1122121X R
X i X i X R y y y P Q =-+=
-=竖曲线曲线元素推导
竖曲线元素有切线长T 、外失距E 和竖曲线长L 三个元素，推导过程如下：
由图可知：
2tan
ω
=R
T 由于转角很小，所以可近似认为，因此可得：
ω2
2
tan
ω
ω
=
2
ωR T =
由图易得：ωR L =将切线长T 带入到中可得2
21x R
y =
外失距R
T E 22
=
4.曲线高程计算示例
已知：
某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m ，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m 。
问：
（1）判断凸、凹性； （2）计算竖曲线要素；
（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。
解：（1）由于0%2.4%8.0%512>=-=-=i i ω所以竖曲线为凹曲线（2）切线长m R T 1052
%
2.450002=⨯==
ω 曲线长m
R L 210%2.45000=⨯==ω 外失距m R T E 1025.150********
2=⨯==
（3）起点里程=K25+460.00-105=K25+355
起点至变坡点高程改正数为m
T i y 84.0105%8.012=⨯==所以起点高程779.88m 0.84-780.72==因为终点里程=K25+460.00+105=K25+565
终点至变坡点高程改正数为m T i y 25.5105%522=⨯==所以终点高程785.97m
25.5780.72=+=可以断定D1=K25+400.00、D2=K25+460.00、D3=K25+500.00三个点都在竖曲线上，因此分别计算D1、D2点距起点的平距得：
451=D X 105
2=D X 分别计算D1、D2点切线标高及改正值：
m
H 24.78045%8.088.7791=⨯+=m x R y 2025.0455000
2121221=⨯⨯==
m
H 72.780105%8.088.7792=⨯+=
m x R y 1025.11055000
2121222=⨯⨯==
所以m
H D 4425.7802025.024.7801=+=m H D 8225.7811025.172.7802=+=D3点距终点的距离为：
m
X D 653=分别计算D3点切线标高及改正值：
m
H 72.78265%597.7853=⨯-=m x R y 4225.0655000
2121223=⨯⨯==
m
H D 1425.7834225.072.7823=+=。