人教版九年级上册数学各章节重要知识点归纳

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人教版初三上册数学各章节重要知识点概要

二次根式

1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；

（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.

2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩

⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；

3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：

)0b ,0a (b

a

b a >≥=， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）

)0b ,0a (b

a

b a >≥=

；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不

含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式

和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分

母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2

+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，

其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2

+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2

-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2

.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

旋转

1、概念：

把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质：

（1） 旋转前后的两个图形是全等形； （2） 两个对应点到旋转中心的距离相等

（3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称

圆

1、（要求深刻理解、熟练运用）

1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.

几何表达式举例： ∵ CD 过圆心

∵CD ⊥AB

A

B

C

D

E

O 平分优弧

过圆心

垂直于弦平分弦平分劣弧

∴ AC BC

AD BD

==AE=BE

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，

即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点P ′（-x ，-y ）．

3

2.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.

几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD

∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD

∴∠AOB=∠COD （3）…………… 3．圆周角定理及推论:

（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)

（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直

角三角形.(如图)

（1） （2）（3） （4）

几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=

2

1

∠AOB ∴ ……………

（2） ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90°

（3） ∵ ∠ACB=90°

∴ AB 是直径

（4） ∵ CD=AD=BD

∴ ΔABC 是Rt Δ

4．圆内接四边形性质定理:

圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角.

几何表达式举例：

∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC

∠C+∠A =180° 5．切线的判定与性质定理:

如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理.

（1）经过半径的外端并且垂直于这条

半径的直线是圆的切线；

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；

几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径

∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径

∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB 6．相交弦定理及其推论:

（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

（1） （2）

几何表达式举例： （1） ∵PA ·PB=PC ·PD

∴……… （2） ∵AB 是直径

∵PC ⊥AB ∴PC 2

=PA ·PB

7．关于两圆的性质定理:

（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

几何表达式举例： （1） ∵O 1，O 2是圆心

A

B

C

D

E

F

O

A

B

C

O

A

B

C

D

P

A

B

C

P

O A

B

C

D

E

A

B

C

O

A

B

C

D

A

B

C

O

是半径垂直是切线