离散数学__图论的典型问题

第7章 图论的典型问题
例2 设一个旋转鼓的表面被分成24个部分， 如图7 - 6所示。 其中每一部分分别由导体或绝缘体构成， 图 中阴影部分表示导体， 空白部分表示绝缘体， 绝缘体 部分给出信号0，导体部分给出信号1。 根据鼓轮转动 后所处的位置， 4个触头a， b， c， d将获得一定的信 息。 图中所示的信息为1101， 若将鼓轮沿顺时针方向 旋转一格， 则4个触头a， b， c， d获得1010 。试问鼓 轮上16个部分怎样安排导体及绝缘体， 才能使鼓轮每 旋转一格后， 4 个触头得到的每组信息（共16组）均 不相同？这个问题也即为： 把16个二进制数字排成一 个环形， 使得4个依次相连的数字所组成的16个4位二 进制数均不相同。
在横贯全城的普雷格尔河两岸和两个岛之间架设了7座桥， 它们把河的两岸和两个岛连接起来（如图7 ― 1）。
第7章 图论的典型问题
我们将图7 ― 1中的哥尼斯堡城的4块陆地部分分别 标以A， B， Ｃ， D， 将陆地设想为图的结点， 而把 桥画成相应的连接边， 这样图7 ― 1可简化成图7 ― 2。
Байду номын сангаас
第7章 图论的典型问题
图 7 ― 1 哥尼斯堡七桥问题示图
第7章 图论的典型问题
图 7 ― 2 哥尼斯保七桥问题简化图
第7章 图论的典型问题
定义 7.1 ― 1 给定无孤立结点的图G， 若存在一 条经过G中每边一次且仅一次的回路， 则该回路为欧 拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。
例如， 给出如图7 ― 3所示的两个图， 容易看出， (a)是欧拉图， 而(b)不是欧拉图。
第7章 图论的典型问题
定理7.1 ― 3 一个连通有向图具有（有向）欧拉回 路的 充要条件是图中每个结点的入度等于出度。 一个 连通有向图具有有向欧拉路的充要条件是最多除两个 结点外的每个结点的入度等于出度， 但在这两个结点 中， 一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度 比出度少1。
下面举一个有趣的例子是计算机鼓轮的设计。
第7章 图论的典型问题
运用上面的讨论， 我们在G1中得到一个从B点出 发的一条闭迹β1。 这样我们就得到了一条更大的闭迹， 它是从A点出发沿β前进到达B， 然后沿闭迹β1回到B， 最后再沿β由B走到A。 如果我们仍然没有走遍整个图， 那么我们再次把闭迹扩大， 以此类推， 直到最后得到 一个欧拉回路。
第7章 图论的典型问题
图 7 ― 3 图形示例
第7章 图论的典型问题
定理 7.1 ― 1 连通图G是欧拉图的充要条件是G 的所有结点的度数都是偶数（这样的结点称为偶度结 点）。
证明 必要性： 设G是一欧拉图， α是G中的一条 欧拉回路。 当α通过G的任一结点时， 必通过关联于 该点的两条边。 又因为G中的每条边仅出现一次， 所 以α所通过的每个结点必定是偶度结点。
由于在七桥问题的图7 ― 2中， 有４个点是奇度结 点， 故不存在欧拉回路， 七桥问题无解。
第7章 图论的典型问题
在图7 ― 3中， (a)图的每个结点的度数都为４， 所以它是欧拉图；(b)图不是欧拉图。 但我们继续考察 (b)图可以发现， 该图中有一条路v2v3v4v5v2v1v5， 它经 过(b)图中的每条边一次且仅一次， 我们把这样的路称 为欧拉路。
第7章 图论的典型问题
第7章 图论的典型问题
7.1 欧拉图与哈密尔顿图 7.2 树 7.3 根树及其应用 7.4 偶图与匹配 7.5 平面图与欧拉公式 7.6 连通度 7.7 运输网络 习题7
第7章 图论的典型问题
7.1 欧拉图与哈密尔顿图
7.1.1 欧拉图 历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。 问题是这样的： 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡城，
第7章 图论的典型问题
如果β走遍了G的所有边， 那么我们就得到所希望 的一条欧拉回路。 如果不是这样， 那么在β上将有某 一结点B， 与它关联的一些边尚未被β走过（因G连 通）。 但是， 实际上， 因为β走过了与B关联的偶数 条边， 因此不属于β的与B关联的边也是偶数条。 对于 其他有未走过边所关联的所有结点来说， 上面的讨论 同样正确。 于是若设G1是G－β的包含点B的一个连通 分支， 则G1的结点全是偶度结点。
定义7.1 ― 2 通过图G的每条边一次且仅一次的路 称为图G的欧拉路。 对于欧拉路有下面的判定方法。
第7章 图论的典型问题
定理7.1 ― 2 连通图G具有一条连接结点vi和vj的欧 拉路当且仅当vi和vj是G中仅有的奇度结点。
证明 将边(vi， vj)加于图G上， 令其所得的图为G′ （可能是多重图）。
由定理7.1 ― 1知： G有连接结点vi和vj的欧拉路， iff G′有一条欧拉回路， iff G′的所有结点均为偶度结点， iff G的所有结点除vi和vj外均为偶度结点， iff vi和vj是G中仅有的奇度结点。
第7章 图论的典型问题
我国民间很早就流传一种“一笔画”游戏。 由定 理7.1 ― 1和定理7.1 - 2知， 有两种情况可以一笔画。
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图 7 ― 5 例1用图
第7章 图论的典型问题
解 将4个房间和一个客厅及前门外和后门外作为结 点， 若两结点有边相连就表示该两结点所表示的位置 有一扇门相通。 由此得图7 ― 25(b)。 由于图中有4个 结点是奇度结点， 故由定理7.5 ― 2知本题无解。
类似于无向图的结论， 对有向图有以下结果。
(1) 如果图中所有结点是偶度结点， 则可以任选 一点作为始点一笔画完；
(2) 如果图中只有两个奇度结点， 则可以选择其 中一个奇度结点作为始点也可一笔画完。
第7章 图论的典型问题
例1 图7 ― 5(a)是一幢房子的平面图形， 前门进 入一个客厅， 由客厅通向4个房间。 如果要求每扇门 只能进出一次， 现在你由前门进去， 能否通过所有的 门走遍所有的房间和客厅， 然后从后门走出。
第7章 图论的典型问题
图 7 ― 4 定理 7.1 ― 1用图
第7章 图论的典型问题
充分性： 我们可以这样来作一个闭迹β， 假设它 从某结点A开始， 沿着一条边到另一结点， 接着再从 这个结点， 沿没有走过的边前进， 如此继续下去。 因 为我们总是沿着先前没有走过的新边走， 又由于图G 的边数有限， 所以这个过程一定会停止。 但是， 因为 每一个结点都与偶数条边关联， 而当沿β前进到达结点 v 时， 若v≠A， β走过了与v关联的奇数条边， 这样在v 上总还有一条没有走过的边。 因此， β必定返回停止 在A（见图7 ―4）。