第五章 弹塑性断裂力学

K Ι = σ πξ − 2σ s
⎧ ξ 2p (a < ξ ≤ L) ξ ⎪ −1 a 2 2 cos +⎨ π (ξ − a ) π ξ ⎪ (0 < ξ ≤ a) ⎩0
L 2 ξ a ξ (σ πξ − 2σ s cos −1 ) dξ δ= 2 2 ∫a G (1 + ν ') π ξ π (ξ − a ) 8σ a 4 πa πa ) = s ln(sec ) σ s a ln(sec = G (1 +ν ') 2σ s 2σ s π E1
πa
p
a p (ξ ) a+b a +ξ ⇒ K IA = ∫ dξ −a a−b πa a −ξ a p (ξ ) a−b a −ξ ⇒ K IB = ∫ dξ −a a+b πa a +ξ
πa
p (ξ )为分布 载荷 解析函数 ： Z ( z ) = p a2 − b2
π ( z − b ) z 2 − b2
u = ui ji ( i, j = 1, 2 )
dy = n1ds = δ1 j n j ds
∂u ∂u ∂u ⎛ ∂u ⎞ ⋅ T = ⎜ l jl ⎟ ⋅ σ ji n j ji = l σ ji n jδ il = σ ij n j i ∂x ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂ui ∂ui J = ∫ U1dy − σ ij n j ds = ∫ (U1δ1 j − σ ij )n j ds ∂x ∂x Γ Γ ∂ui 考虑I = ∫ (U1δ1 j − σ ij )n j ds Γ* : ABCDA → Γ1 + BC − Γ 2 + DA ∂x Γ*
(
)
Green公式:
∂Q ∂P − )dxdy ] ∂x ∂y S A x → x1 , y → x2 ∂P ∫ Pn j ds = ∫∫ ∂x j dA (dx = − n2 ds, dy = n1ds ) S A
∫ Pdx + Qdy =∫∫ (
∂ui I = ∫ (U1δ1 j − σ ij )n j ds ∂x Γ* ∂ui ∂ui ∂U1 ∂ ∂ (U1δ1 j − σ ij )dA = ∫∫ [ (σ ij )]dA = ∫∫ − ∂x j ∂x1 ∂x1 ∂x j ∂x1 A A
考虑 : ln(sec 1 πσ 2 5 πσ 4 61 πσ 6 πσ ) = ln[1 + ( ) + ( ) + ( ) + ⋅⋅⋅] 2σ s 2 2σ s 24 2σ s 720 2σ s 1 πσ 2 = ( ) （ σ / σ s ≤ 0.5） 2 2σ s
1 1 K Ι2 σ 2 σ 2 δ =π σ 2π a = a ( ) = π es a ( ) = σs E σs Eσ s E σs
不是失稳状态临界值（与材料尺寸相关）。
5-3
J 积分的概念及定义
裂纹尖端塑性区应力、应变场复杂，难以确定。 **1967年G.C.Sih提出S判据； **1960年D.S.Dugdale提出“D-M”模型； ----窄长条屈服模型. 环绕裂尖画出一个“禁区”,在禁区外考虑弹性力学场，涉及KI禁区内裂尖称 为奇点，在该点上应力、应变和应变能率都趋于无限大。 **1968年，J.R. Rice提出一个环绕着奇点的封闭线积分，它的大小与积分的 路径无关。
裂纹扩展能量释放率 G = −
∂U , ∂A
U : 系统能量（势能）U = E − W
考虑单位厚度试件中含有一贯穿裂纹（平面问题）
T : 作用在回路Γ弧元ds上的外力（应力）矢量 T = Ti ji = σ ij n j ji Γ上的张力,曳力 u : Γ上的位移矢量
侧面积Bds上的外力为T ⋅ Bds = Tds ( B = 1)
∫
a
0
GΙΒιβλιοθήκη Baiduda =
∫
a
0
a ∂GΙ ∂K Ι 2 1 lim ∂p da = 2G (1 + ν ') ∫0 lim ∂p da p→0 p→0
a ∂K Ι 1 KΙ = ∫0 lim ∂p da G (1 + ν ') p→0
K Ι2 GΙ = 2G (1 + ν ')
⎧ ν ⎪ ν '= ⎨ ν ⎪1 − ν ⎩
故 I = ∫∫ 0dA = 0
A
在 BC和DA上，dy = 0, Ti = 0
∂ui 故 ∫ U1dy − n jσ ij ds = 0 ∂x BC ∂ui ∫ U1dy − n jσ ij ∂x ds = 0 DA
∂u ∂u 故有 ∫ U1dy − T ⋅ ds − ∫ U1dy − T ⋅ ds = 0 ∂x ∂x Γ1 Γ2 即 ∫ U1dy − T ⋅
∂U1 ∂U1 ∂ε ij ∂ ⎡ 1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎤ = = σ ij + ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ∂x ∂x1 ∂ε ij ∂x1 ∂x1 ⎢ 2 ⎝ j ∂xi ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ∂ui ∂σ ij ∂ui ∂ ∂ui ∂ ∂u ∂ = σ ij ( )= (σ ij )− = (σ ij i ) ∂x j ∂x1 ∂x j ∂x1 ∂x j ∂x1 ∂x j ∂x1
表征材料断裂的物理参数
σs
5-2 裂纹张开位移的全面屈服方程
1963年，A.A. Wells, 提出半经验全面屈服公式。
对于小塑性区尺寸情况,ry =
1 KΙ 2 δ= = 2π es ry E σS
（1）材料为理想塑性；
1 KΙ 2 ( ) 2π σ S
es =
σS
E
材料屈服应变
对于 σ / σ s ≥ 1情况, Wells提出： e ry （2）材料在屈服后,名义应变 e和 es 存在关系: = . es a
平面应力 平面应变
考虑裂纹半长ξ 在0 < ξ ≤ L的范围内，由σ ,σ s 和p作用下产生的K Ι。
σ → σ πξ
σ s → −2σ s
p
（0 < ξ ≤ L）
σs
p
σs
p
ξ −1 a cos （0 < ξ ≤ L） π ξ
ξ ξ +a ξ −a 2p p→ ( + )= (a < ξ ≤ L) ξ +a πξ ξ − a π ξ 2 − a2
K I (1) = σ π L
KI
(2)
=
⎡ −a ⎢ π L ⎣ ∫− L
1
L L−x ( −σ s ) dx + ∫a L+x
⎤ L+x ( −σ s ) dx ⎥ L−x ⎦
= − 2σ s
由K I = K I
L
π
cos −1
a L
cos −1 x = y, cos y = x
(1)
+ KI
∂x j
Γ
对于任何弹塑性体 （大范围屈服或全面屈服）, J 都存在。
=0
( 平衡方程 )
5-4
J 积分的守恒性
∂u J = ∫ U1dy − ⋅ Tds ∂x Γ
x → x1 , y → x2
T = Ti ji = σ ij n j ji
( i, j = 1, 2 )
j1 : x方向单位矢量，j2 : y方向单位矢量
测试K ΙC
2 5 平面应变条件，试件厚度h ≥ 2.（K ΙC / σ S）
大吨位试验机 消耗材料
中、低强度钢，σ s不很高，K ΙC 不低，裂尖附近塑性应变量较大， 且分布不均匀，测塑性应变困难.
⇒ 选用裂纹尖端塑性区的宽度（以ρ 表示）
或 裂纹尖端张开位移（以δ 表示） 作为裂纹尖端应力、应变场的描述参量
（一）J 积分与K Ι的关系
考虑线弹性情况，以裂尖为圆心，r为半径 的圆作为J积分的回路Γ ∂u ∂u J = ∫ U1dy − T ⋅ ds = r ⋅ ∫ (U1 cos θ − T ⋅ )dθ ∂x ∂x Γ −π
π
1 +ν 1 1 2 2 [(1 −ν ) (σ x + σ y ) − 2νσ xσ y + 2τ xy 2 ] U1 = σ ij ε ij = (σ xε x + σ yε y + τ xyν xy ) = 2E 2 2 KI 3θ θ θ cos (1 − sin sin ) σx = 2 2 2 2π r 在平面应变条件下 KI 3θ θ θ cos (1 + sin sin ) σy = 2 2 2 2π r KΙ 3θ θ θ sin cos cos τ xy = 2 2 2 2π r
(2)
= 0得
∫ ∫
L+x dx = 2 L( y1 − sin 2 y1 ), tgy1 = L−x L−x dx = −2 L( y2 − sin 2 y2 ), tgy2 = L+x
L+ x L−x L−x L+x
πσ a = cos L 2σ s
塑性区长度
πσ − 1) ρ = L − a = a (sec 2σ s
Γ1
∂u ∂u ds = ∫ U1dy − T ⋅ ds ∂x ∂x Γ2
结果表明,J 积分守恒。
J 积分适用条件： 除了弹性、小变形之外，对于塑性体，只有在用 ∂U1 全量理论和单调加载时才有σ ij = 即σ ij由ε ij唯一确定，与 ∂ε ij 加载历史无关（不允许卸载）.
5−5
J 积分与K Ι 和COD的关系;J 积分准则
当内聚力取σ s时,模型就变成D − M 模型. D − M 模型为Barenblatt 模型的特殊情况, 亦称为D − B模型.
σs
σs
D − M 模型
在x = ± L处应力不存在奇异性，
σ → K Ι (1) , σ s → K Ι (2) ,应力强度因子总和为零 ⇒ 确定塑性区长ρ
K IA = K IB = p
求 " D − M " 模型对应的裂纹尖端处的张开位移 δ ∂E 可根据 Castigliano定理: δ = lim ( p为一对虚力) p p → 0 ∂p
来确定.
GΙ = ( ∂E ∂U ∂E ) p [GΙ = − ( )p = ( )p] ∂a ∂a ∂a
σs
σs
p
∂ δ = lim p → 0 ∂p
dW = Tds ⋅ u = u ⋅ Tds
整个试件的W = ∫ dW = ∫ u ⋅ Tds
E = ∫ dE = ∫ U1dV = ∫∫ U1dxdy (dV = BdA = Bdxdy )
A
Γ
U = E − W = ∫∫ U1dxdy − ∫ u ⋅ Tds
A
G = ∫ U1dy −
Γ
∂u ⋅ Tds = J ∂x ∂σ ij
5-1 裂纹尖端张开位移（COD）的概念 和小范围屈服方程
1960年，D.S . Dugdale （道格达尔）提出了条形塑性区简化模型.
塑性区模型: 塑性区集中在裂纹尖端前缘沿裂纹方向长为ρ， 高为t ( ρ >> t )的狭带上,并认为材料是理想弹塑性的， 在塑性区内应力为σ s
Dugdale采用该条形模型，运用Muskhelishvili方法获得了 裂纹张开位移的表达式.
故有 δ = 2π es ry = 2π ae.
引入无量纲 Φ =
δ e ,则有 Φ = . 2π es a es
另外, Burdekin 建立了一个基于宽板试验的半经验公式:
δ = 2π a ( e − 0.25es )
(全面屈服)
COD 准则：当 δ = δ c时，裂纹开裂。
δ c由试验测定
δ c为开裂状态临界值（与材料尺寸无关）,
⎧ E ⎪ E1 = ⎨1 −ν 2 ⎪ E ⎩
平面应变 平面应力
对于平面应力情况，材料屈服应变 es = s E 8 πσ δ = es a ln(sec ) 2σ s π 在弹性和小范围屈服情况下(σ / σ s ≤ 0.5)，当 σ / σ s → 1时，
σ
δ → ∞不合理，原因在与忽略了塑性区材料的硬化。
5-1 裂纹尖端张开位移（COD）的概念和小 范围屈服方程 5-2 裂纹张开位移的全面屈服方程 5-3 J积分的概念及定义 5-4 J积分的守恒性
5 − 5 J积分与K Ι 和COD的关系; J积分准则
第五章 弹塑性断裂力学
裂纹失稳准则
塑性区域小，小范围屈服。塑性区对绝大部分的弹性应力分布影响不 大，可用应力强度因子 K Ι 表征应力场 中、低强度钢 中小型构件、薄壁构件、焊接物件拐角压力容器接管处 在裂尖附近发生大范围屈服或全面屈服塑性区尺寸与裂纹长相比，已达到 同一数量级断裂发生在接近屈服应力的时刻
“窄长条屈服模量”（D − M 模型）
1962年， Barenblatt （巴伦布拉特）提出了"内聚力"模型. 认为,裂纹尖端奇异性实际是不存在的. 奇异性产生源于尖端曲率为零,尖端应力大小有限. 裂纹尖端前缘存在微小"内聚力"区域. 外载荷作用时, 区域内原子被拉开距离, 原子间的内聚力起制止作用, 内聚力与拉开的距离有函数关系. 外载引起的正奇异性与内聚力引起的正奇异性抵消, 使尖端应力大小有限.