教师版——反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题

二、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于

B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

三、例题分析

1☆．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．y=3x B．C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．B．C．D．

答案：（1）C；（2）A．

2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．

（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

则直线不经过的象限是（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．

A．B．C．D．

答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且

，则的值为（）．

A．正数B．负数C．非正数D．非负数

（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

y随x的增大而减小的函数有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．

注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定

（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．

A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．

①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

（5）☆为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6

毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：

①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是

_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

答案：（1）B；（2）4，8，（，）；

（3）依题意，且，解得．

（4）①依题意，解得

②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．

（5）①，，；

②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．

5．面积计算

（1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y

轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．

A．B．C．

D．