郑州市2016-2017高二下学期期末考试(理)

2016—2017学年度郑州市下期期末考试

高中二年级 数学（理科） 参考答案

一、选择题:

1. C ．

2. B.

3.A ．

4. D ．

5. D ．

6. B ．

7.D

8. D ．

9.B. 10.B. 11. C ．12. A.

二、填空题:

13. 60；14.16. 3.8 三、解答题：

17.证明：由于0≠a ，因此方程至少有一个实根a

b x =. .................2分 假设方程不只一个实根，不妨设21,x x 是它的两个不同的实根，

即b ax =1，b ax =2.两式相减得0)(21=-x x a ...................6分

因为21x x ≠，所以021≠-x x ，所以应有0=a ，这与已知矛盾，故假设错误..............8分 所以，当0≠a ，方程b ax =有且只有一个根..................10分

18.解：（I ）由

210393223344999999(1)(1)(1)(1)(1)(19)x x x x x x x C x C x C x C x ++-=--=--+-++-

所以4x 的系数为499135C +=.................6分

（II ）因为

()55

555515454551545455555555556561(5656561)6(565656)7C C C C -=-=-++--=-++- ..................10分

所以55556-除以8的余数为1. . ................12分

19. 解：（I ）由题意，K2=≈0.65＜0.708， ........3分 ∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关； .................4分 （II ）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人； ........6分 由题知X=1，2，3，则 .................7分

P （X=1）==0.3，P （X=2）==0.6，P （X=3）==0.1． .................10分

X 的分布列为：

.................11分

随机变量X 的数学期望为EX =1×

0.3+2×0.6+3×0.1=1.8． .................12分 20.解：（I ）当0>x 时，()()()()a x e x f a x e x f x x +-='+--=2,322..................2分 因为()x f y =在2x =处取得极值，所以(2)0f '=，解得22a e =-.. ................3分 经验证满足题意，所以22a e =-. .................5分 (II)由题意知()x f y =的图像上存在两点关于原点对称，即

()()0322>+--=x a x e y x 图象上存在一点()()0,000>x y x ，使得

()00,y x --在()03322<-++=x a ax x y 的图象上

()⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+-=-3233200

202000a x e y a ax x y x 消去0y ，得()33322020200+-+-=+--a ax x a x e x ，化简得0

2x e a x =...................8分 则由题意关于0x 的方程0

2x e a x =在()+∞,0上有解. 设()()()()212,02x

x e x h x x e x h x x -='>=则， 令()0='x h ，得1=x ， 当1>x 时，()0>'x h ，()x h 在()+∞,1为增函数；

当10<

所以()()();,21+∞→+∞→=≥x h x e h x h 时，且()+∞→→x h x 时，0，即()x h 的值域为[

)+∞,2e . 所以当e a 2≥时，方程0

2x e a x =在()+∞,0上有解. 即当e a 2≥时，函数()x f y =的图像上存在两点关于原点对称. ..................12分

21.解：（Ⅰ）5

41,431,321432⨯=⨯=⨯=a a a ...............3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想）*()

1(1N n n n a n ∈+=，..................4分 下用数学归纳法证明之

证明：（1）当1=n 时，猜想成立.

（2）假设k n =时，猜想成立，即1,(1)

k a k k =+ 那么时1+=k n ，221111(1),(1).k k k k k S k a S a k a ++++=++=+即

121212)1()

1(1++++=++⨯=+k k k k a k a k k k a a k ，..................6分 得)

2)(1(11++=+k k a k ，即时成立1+=k n . 由（1）（2）知猜想正确，)

1(1+=n n a n ...................8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知)21n 121)2(1)1(12

+-=+=

⋅⋅+=+n n n a a n b n n n （，..................10分 所以1

11111131111)(),232424212n i i b n n n n ==-+-++-=-++++∑ （ 所以13

.4n i

i b =<∑................12分 22解：（I ）由)()(R k k kx e x f x ∈+-=,则k e x f x -=')(,................1分

若0≤k ,则0)(>'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增； ,................3分

若0>k ,令0)(>'x f ,解得k x ln >;令0)(<'x f ,解得k x ln <,所以单调递增区间为),(ln +∞k ,单调递减区间为)ln ,(k -∞.................5分

(II) （i)由题意:由(1)可知, 当0≤k 时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去; 0>k 时,令0ln )(ln ln <+-=k k k e k f k ,解得2e k >,此时0)1(>=e f ;+∞→x 时, 0)(>+∞→x f ,因此会有两个零点,符合题意.