2018年高考数学二轮复习第一部分专题三数列第二讲数列的综合应用习题

第二讲 数列的综合应用

限时规范训练

一、选择题

1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n

，则a 7a 3

＝( ) A ．2 B ．4 C ．5

D.52

解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3

＝22

＝4，故选B.

答案：B

2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24

D ．23

解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－2

3的等差数

列，

所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋47

3>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值

为23. 答案：D

3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，

则其前6项之和为( )

A ．16

B ．20

C ．33

D ．120

解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14， 所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44

B ．3×44

＋1 C ．44

D ．44

＋1

解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，即

a n ＋1

a n

＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44

＝3×44

.

答案：A

5．已知函数f (n )＝n 2

cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．5 050

D ．10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－12

＋22

－32

＋42

－…－992

＋1002

＝(22

－12

)＋(42

－32

)＋…＋(1002

－992

)

＝3＋7＋…＋199＝50

3＋199

2

＝5 050.

答案：C

6．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( ) A.1

2 014

B.2 014

2 015 C ．－2 0142 015

D.

1

2 015

解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴

1

a n ＋1－1a n

＝1，又∵a 1＝1，∴1

a 1

＝1，

∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列，

∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a 2 015

＝2 015，

∴a 2 015＝12 015.故选D.

答案：D

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n

(2n －1)·cos n π

2

＋1(n ∈N *

)，其前n 项和为S n ，则S 60

＝( ) A ．－30 B ．－60 C ．90

D ．120

解析：由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *

)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *

)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；

当n ＝4k －1(k ∈N *

)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *

)时，a n ＝a 4k ＝8k . ∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120. 答案：D

8．已知S n 是非零数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝2a n －1，则S 2 017等于( ) A ．1－22 016

B ．2

2 017

－1

C ．2

2 016

－1 D ．1－22 017

解析：∵S n ＝2a n －1，∴S 1＝1，且S n ＝2(S n －S n －1)－1，即S n ＝2S n －1＋1，得S n ＋1＝2(S n －1＋1)，由此可得数列{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，得S n ＋1＝2n ，即S n ＝2n －1，∴S 2 017＝2

2

017

－1，故选B.

答案：B 二、填空题 9．若数列{a n }满足1

a n ＋1

＝2a n ＋1a n

，且a 1＝3，则a n ＝________.

解析：由

1a n ＋1

＝

2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n

＝2，

∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1

3，公差为2的等差数列．

∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －5

3， ∴a n ＝

3

6n －5

. 答案：3

6n －5

10．已知正项数列{a n }满足a 2

n ＋1－6a 2

n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 解析：∵a 2

n ＋1－6a 2

n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2， ∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2

1－3n

1－3

＝3n

－1.

答案：3n

－1

11．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n

(n ∈N *

)，则S 2 014＝________. 解析：由a n a n ＋1＝3n

知，当n ≥2时，a n a n －1＝3

n －1

.所以

a n ＋1

a n －1

＝3，所以数列{a n }所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝3，

a 2n －1＝3n －1，

a 2n ＝3n

.所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝4×1－31 007

1－3

＝2×31 007

－2.

答案：2×3

1 007

－2

12．数列{a n }中，a 1＝1

2，a n ＋1＝

na n n ＋1na n ＋2(n ∈N *

)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.

解析：由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na n na n ＋2，设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b n b n ＋2，所以1b n ＋1＝2

b n

＋1， 可得

1

b n ＋1

＋1＝2b n

＋2＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1b n ＋1，即⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1b n

＋1是公比为2，首项为3的等比数列，

故1b ＋1＝3×2n －1

∴a n ＝

1

n 3×2n －1－1

.