5.2 内积空间中的正交与投影

5.2 内积空间中的正交与投影

5.2.1 正交和投影

定义5.2.1 设X 是内积空间，,X ∈x y ，若[,]0=x y ，则称x 与y 正交，记作⊥x y .

设Y X ⊂，当x 与Y 中所有向量都直交时，称x 与Y 正交，记作Y ⊥x . 设,Y Z X ⊂，若对,Y Z ∀∈∀∈y z ，都有⊥y z ，则称Y 与Z 正交，记作Y Z ⊥. 设Y X ⊂，记{,}Y x x Y x X ⊥=⊥∈，并称之为Y 的正交补（集）。 注 C

Y Y ⊥

≠. 正交性质：

(1) 若⊥x y ，则⊥y x ； (2) 若X ∈x ，则 X

⊥⇔=0x x ;

(3) 若Y Z ⊂，则Z Y ⊥⊥

⊂；

(4) 对Y X ∀⊂，恒有{}Y Y ⊥=0 ； 注 {}Y Y ⊥=0 不意味着Y Y X ⊥

= . (5) 勾股弦定理：当⊥x y 时，2

22

+=+x y x y .

引理5.2.1 设X 是内积空间，Y X ⊂，则Y ⊥

是X 的闭线性子空间。

证 （自证！）

注 因为Y 未必是X 的闭线性子空间，所以一般地，()Y Y ⊥⊥

≠，但有()Y Y ⊥⊥

⊂. 若Y 是X 的闭线性子空间，则()Y Y ⊥⊥

=.

推论 设Y X ⊂，若span{}Z x

x Y =∈是Y 张成的闭线性子空间，则

Z Y ⊥⊥=.

证 因为Y Z ⊂，所以Y Z ⊥⊥

⊃.

反过来，若Y ⊥∈x ，即Y ⊥x ，这时{}(){}Y

Y Y ⊥

⊥⊥⊥⊂⇒⊂⊂x x .

由引理5.2.1知：{}⊥

x 是X 的闭子空间, 而Z 是包含Y 的最小的闭集，所以

{}Z Z Z ⊥⊥⊂⇒⊥⇒∈x x x

或

{}{}({})Z Z Z ⊥⊥⊥⊥⊥⊂⇒⊂⊂⇒∈x x x x

得：Y Z ⊥

⊥

⊂. 综上所述，有Z Y ⊥

⊥

=. 证毕！

定义5.2.2 设X 是内积空间，12,Y Y 是X 的两个线性子空间，若12Y Y ⊥，则称

121122{,}Y Y Y =+∈∈x x x x

为1Y 与2Y 的正交和，记作12Y Y ⊕.

命题5.2.1 设内积空间X 能分解为1Y 与2Y 的线性和

12121122{,}X Y Y Y Y =+=+∈∈x x x x

则它为正交和 ⇔ 1221,Y Y Y Y ⊥⊥==.

In fact , “⇒”设12X Y Y =⊕，则由定义5.2.3知：12Y Y ⊥. 于是

1112

12Y Y Y ⊥∀∈⇔⊥⇔∈x x x ，

故 12Y Y ⊥=. 同理可证21Y Y ⊥=.

“⇐”设1221,Y Y Y Y ⊥⊥==，往证12X Y Y =⊕. 因为X 已经分解为1Y 与2Y 的线性和：

12121122{,}X Y Y Y Y =+=+∈∈x x x x ，

所以，要证明12X Y Y =⊕，只需证明12Y Y ⊥.

因为 1221,Y Y Y Y ⊥⊥==，所以显然有 12Y Y ⊥. 证毕！

定义5.2.3 设Y 是内积空间X 的线性子空间，X ∈x . 若存在01,Y Y ⊥∈∈x x ，使得

01=+x x x (5.2.1)

则称0x 是x 在Y 上的（正交）投影，或x 在Y 上的投影分量。

注1 1x 是x 在Y ⊥

上的（正交）投影，或x 在Y ⊥

上的投影分量。

注 2 一般说来，对于内积空间X 的任意向量x 以及任意子空间Y ，x 在Y 上的投影并不一定存在。

注3 若x 在Y 上有投影，则投影必定是唯一的。

定理5.2.1 设Y 是内积空间X 的线性子空间，X ∈x . 若0x 是x 在Y 上的投影，则

0inf Y

∈-=-y x x x y , (5.2.2)

且0x 是Y 中使(5.2.2)成立的惟一向量。

证 因为0x 是x 在Y 上的投影，所以00,Y Y ∈-⊥x x x .

对于Y ∀∈y ，因为00()()-=-+-x y x x x y ，而0Y -∈x y ，所以

00()()-⊥-x x x y ，

故由“勾股定理”得

2

2

2

00-=-+-x y

x x x y (5.2.3)

显然(5.2.3)式只有当0=x y 时，等号才成立。

由(5.2.3)知：(5.2.2)式成立，且(5.2.2)式中右边的下确界只有当0=y x 时才能达到。 证毕！

5.2.2 投影定理

引理5.2.2（变分引理） 设Y 是内积空间X 中完备的凸集，X ∈x . 记

(,)inf d Y ρ∈==-y Y

x x y (5.2.4)

则必有唯一的0Y ∈x ，使得0d -=x x .

证 由下确界的定义，必定有Y 中的点列{}n x ，使得

lim n n d →∞

-=x x .

这样的点列称为“极小化”序列。

下面证明{}n x 是基本点列。由平行四边形公式得：

2

2

2

2

222

2

m

n m n

m n -+=-+---x x x x x x x x x . (5.2.5)