2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识分析
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弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
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有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
弹性力学与有限元完整版
第一篇 弹性力学
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x
y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x
y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
0
Ni y Ni x
N j x 0
N j y
0
N j y N j x
N m x 0
N m y
0
N m y N m x
ui
vi
u v
j j
um vm
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
B Bi B j
ui
bm 0 cm
0 cm bm
a
u
v
N
ae
INi
I
1 0
0 1
IN j INm ae
位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性
单元应变函数
u
x y
xy
x u
y
u y
v x
Ni
x
0
Ni
y
) xy
x
E
1 2
( x
y)
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D DBae
D
E
1 2
1
0
1 0
0
0
1
2
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。
弹性力学及有限元法 ANSYS实例演示课件
有限元法是一种数值分析方法，通过 将连续的物理系统离散化为有限数量 的单元，利用这些单元的组合来逼近 真实系统的行为。
它广泛应用于工程领域，用于解决各 种复杂的力学、热学、电磁学等问题 。
有限元法的实现过程
01
离散化
将连续的物理系统划分为有限数量 的离散单元。
整体分析
将所有单元的数学模型组合起来， 形成整个系统的数学模型。
使用ANSYS的几何建模 功能，创建一个矩形薄 板模型。
选择适当的单位制，如 国际单位制（SI）。
为薄板指定弹性模量、 泊松比和密度等材料属 性。
通过与已知解进行比较 ，验证模型的正确性和 准确性。
材料属性设置与网格划分
01
02
03
材料属性
根据问题描述，为薄板设 置弹性模量、泊松比和密 度等材料属性。
局限性
ANSYS软件的学习曲线较陡峭，需要用户具备一定的专业背景和经验；同时，对于某些特殊问题，可 能需要结合其他软件或方法进行求解。
未来研究与发展的方向
多物理场耦合
进一步发展多物理场耦合的有限元分析方法 ，以模拟更复杂的工程问题。
智能化与自动化
研究有限元分析的智能化和自动化技术，提 高分析效率和精度。
网格划分
对薄板进行网格划分，选 择合适的网格密度以提高 求解精度。
网格质量检查
检查网格质量，确保网格 划分满足求解精度要求。
边界条件与载荷设置
边界条件
载荷与边界条件验证
根据实际情况，为薄板的边界设置约 束条件，如固定约束或简支约束。
通过有限元分析理论，验证所设置的 载荷和边界条件的正确性。
载荷设置
结构分析
有限元法能够模拟复杂结构的力学行为，为工程设计 和优化提供依据。
它广泛应用于工程领域，用于解决各 种复杂的力学、热学、电磁学等问题 。
有限元法的实现过程
01
离散化
将连续的物理系统划分为有限数量 的离散单元。
整体分析
将所有单元的数学模型组合起来， 形成整个系统的数学模型。
使用ANSYS的几何建模 功能，创建一个矩形薄 板模型。
选择适当的单位制，如 国际单位制（SI）。
为薄板指定弹性模量、 泊松比和密度等材料属 性。
通过与已知解进行比较 ，验证模型的正确性和 准确性。
材料属性设置与网格划分
01
02
03
材料属性
根据问题描述，为薄板设 置弹性模量、泊松比和密 度等材料属性。
局限性
ANSYS软件的学习曲线较陡峭，需要用户具备一定的专业背景和经验；同时，对于某些特殊问题，可 能需要结合其他软件或方法进行求解。
未来研究与发展的方向
多物理场耦合
进一步发展多物理场耦合的有限元分析方法 ，以模拟更复杂的工程问题。
智能化与自动化
研究有限元分析的智能化和自动化技术，提 高分析效率和精度。
网格划分
对薄板进行网格划分，选 择合适的网格密度以提高 求解精度。
网格质量检查
检查网格质量，确保网格 划分满足求解精度要求。
边界条件与载荷设置
边界条件
载荷与边界条件验证
根据实际情况，为薄板的边界设置约 束条件，如固定约束或简支约束。
通过有限元分析理论，验证所设置的 载荷和边界条件的正确性。
载荷设置
结构分析
有限元法能够模拟复杂结构的力学行为，为工程设计 和优化提供依据。
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
第2章 弹性力学的基本知识
（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺 寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力 （定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。 分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。 有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的 正应变ε和 切（剪）应变 γ 来表示。 正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。 正应变和切应变都是无因次的量 应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近 似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体 内任取一点 （单元体）为 研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满 足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程； 在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料 力学胡克定律:
弹性力学与有限元分析
m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。 在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三 角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴 一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的 对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点 处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函 数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得
弹性力学有限元法详解
x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个 单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节 点空间等参元，二十节点等参元等 。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其 应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称 为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元 为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承 受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2
有限元分析的力学基础
SSS
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
弹性力学有限元法基本原理(二)
x x0 a y y0 b
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
1 ~ 8为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由
于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况 。
• 该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界， 这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元， 便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有 效途径。
2、 六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元 位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所 示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个 自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
1 ~ 8为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由
于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况 。
• 该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界， 这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元， 便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有 效途径。
2、 六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元 位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所 示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个 自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：
有限元分析第3章 弹性力学基础知识-弹性力学的平衡
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
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2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性
二
章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成
弹 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分
性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求
力 学
解。
基 础 知
根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使
识 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。
•这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是 可行的。
10
第
2.2 弹性力学基本概念
二
章
弹 性
1. 外力（Load)
力 学
2. 内力和应力（Stress)
基
3. 位移（Displacement）
础 知
4. 应变（Strain)
识
5. 主应力（principal stress）和主平
面（principal plane)
应力必须说明其坐标和作用 面的方位。
16
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？
二
章
应力分量
弹 性 力 学 基 础 知
识z
应力不仅和点的位置有关，和截 面的方位也有关，称为张量。
力 学
——
物体的弹性性质处处都是相同的。
基 础 知
根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小 部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。
识 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并
且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀
材料。
对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。
第
二 章
第二章
弹 性 力 学 基 础 知 识
弹性力学基本知识
1
学习目标
第
二 章
了解弹性力学的基本假设；
弹 掌握弹性力学的基本概念；
性 掌握弹性力学问题的实质及其基本方程之间关系；
力
学 掌握边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣
基 维南原理的应用；
础
知 了解虚位移原理；
识 掌握强度理论选用原则。
力 学
•弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生
基 的。
础
知
识
9
2.1 弹性力学基本假设
第 二
•弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续
章 性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假
弹 性
设等。
力 学
•这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
基
础 知 识
•弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示， 均采用基本假设。
识
ΔF/ΔS，其极限为
F
Pn
lim
S 0
S
为物体在该截面上A点的应力。
15
2、内力与应力
第 二
1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？
章 弹
应力矢量Pn的方向由内力矢量ΔF确定，同时受ΔS方位
性 变化的影响。通常将应力沿截面的法线和切线方向分
力 解为: 学
基 础
正应力σn
切应力τn
知
识
Pn 2 n 2 n 2
学 基
•在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形
础 所引起的尺寸变化。
知
识 •忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成
为线性的代数方程和微分方程。
8
2.1 弹性力学基本假设
第
6.无初应力假设
二
章 •——假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外
弹 性
力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。
基 础
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变
知 和应力等均成为物体所占空间的连续函数。
识
是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。
固体材料都是由微粒组成
工程材料内部的缺陷
4
2.1 弹性力学基本假设
第
2. 均匀性假设
二 章 ——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此，
弹 性
物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化 而改变。
究限于线性的应力与应变关系。这就是说，弹性力学 问题研究在胡克定律成立的条件之下。
•完全弹性假设使研究对象的材料弹性常数不随应力 或应变的变化而改变。
7
2.1 弹性力学基本假设
第
5.小变形假设
二
章 •——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的
弹 性 力
影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于 高阶小量。
体积或者单位面积的载荷。
12
1、外力：体力
第 1.体力矢量大小和方向？2.体力分量？3.量纲？
二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
13
1、外力：面力
第 1.面力矢量大小和方向？2.面力分量？3.量纲？
二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
➢ 面力是表面坐标的函数。一般条件下，面力边界 条件是弹性力学问题求解的主要条件。
基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本
假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如 非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。
3
2.1 弹性力学基本假设
第
1. 连续性假设
二
章 ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的
弹 性
介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
力 学
——变形后仍然保持这种连续性。
11
1、外力(Load)
第
二 章
外力分为：体积力(Body
Force)
弹
表面力(Surface Force)
性 力
体力是作用于物体内部各个质点上的力:例如物体
学 的重力，惯性力，电磁力等等 ；
基 础
面力是作用于物体表面的作用力:例如风力，静水
知 压力，物体之间的接触力等 ；
识
面力和体力大小用集度表示，即分别为物体单位
14
2、内力与应力
第 二
1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？
章 受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，假想用一截
弹 性
面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它
力 们是分布在截面上分布力的合力。
学
基
过M点取截面的一部分，面积为ΔS，
础 知
作用于其上的内力为ΔF ，平均集度为
•当然，像木材，竹材以及纤维增强材料等，属于各 向异性材料。
6
2.1 弹性力学基本假设
第
4.完全弹性假设
二
章 •——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一
弹 性
一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历
力 史无关，称为完全弹性材料。
学
基 •完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研
础 知 识
5Leabharlann 2.1 弹性力学基本假设第
3.各向同性假设
二
章 •——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理
弹 性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的
性 力
改变而变化。
学 基
•对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异
础 性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体
知 尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料 识 性能是显示各向同性。