时间序列模型的序列相关性
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– 需要对模型采用的非平稳时间序列进行协整检验。
• 时间序列模型的序列相关问题（§5.1节）
– 采用时间序列数据建立计量经济学模型，无论是平稳 时间序列和非平稳时间序列，模型随机误差项一般都 存在序列相关，这就违背了经典模型的一个重要的基 本假设。
– 所以模型的序列相关性肯定是时间序列计量经济学模 型必须重点讨论的一个问题。
§5.1 时间序列模型的序列相关性
一、序列相关性 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、序列相关的补救 六、虚假序列相关问题 七、案例
一、序列相关性的概念
• 序列相关性
– 模型随机项之间不存在相关性，称为：No Autocorrelation。
– 以截面数据为样本时，如果模型随机项之间存在相 关性，称为：Spatial Autocorrelation。
• 与异方差性引起的后果相同： – 参数估计量非有效 – 变量的显著性检验失去意义 – 模型的预测失效
四、序列相关性的检验 Detecting Autocorrelation
1、检验方法的思路
• 序列相关性检验方法有多种：
– Graphical Method – Regression Method – Durbin-Watson Test (D.W. test) – Breusch-Godfrey (BG) Test, (LM test, Lagrange
其他基本假设仍成立，随机扰动项存在序列相关:
C( oi, vj)E (ij)0
2
Var(μ)E(μμ) M
L O
E(M 1T)
E(T1) L 2
2 L
M
O
T 1 L
1T M
2Ω2I
2
• 一阶序列相关，或自相关
E( i i1)0 i1,2,L,n1
i i1i
ρ称为自协方差系数（coefficient of autocovariance） 或一阶自相关系数（first-order coefficient of autocorrelation）
• 杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson)于1951 年提出的一种检验序列自相关的方法。
• 该方法的假定条件是：
–解释变量X非随机； – 随机误差项i为一阶自回归形式：i=i-1+I ； – 回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量； – 回归含有截距项。
• 对原模型进行OLS估计，用残差的近似值构造 统计量。
• D.W. 统计量:
H0: =0
n (e~t e~t 1 ) 2
D.W . t 2
n e~t2
t 1
该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系， 因此其精确的分布很难得到。
但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU ，且 这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与 解释变量X的取值无关。
k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t
ˆˆ0,ˆˆ1,,ˆˆk
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
ˆˆ1,ˆˆ2,,ˆˆp
第二次估计
• 类似地，可进行第三次、第四次迭代。 • 两次迭代过程也被称为科克伦-奥科特两步法。
–可行的广义最小二乘估计量不再是无偏的，但却是 一致的，而且在科克伦-奥科特迭代法下，估计量也 具有渐近有效性。
– 如果所有时间序列是平稳的，时间序列的平稳性可以 替代随机抽样假定，可以采用时间序列数据建立经典 计量经济学模型。
– 所以，首先必须对用统计数据构造的时间序列进行平 稳性检验。
• 时间序列的协整检验（§5.3节）
– 实际经济时间序列大都是非平稳的，那么，在非平稳 时间序列之间能否建立计量经济学结构模型？
二、实际经济问题中的序列相关性
• 没有包含在解释变量中的经济变量固有的惯性。
• 模型设定偏误（Specification error）导致随 机项中有一个重要的系统性影响因素 。
• 数据的“编造”。
• 时间序列数据作为样本时，一般都存在序列相 关性。
• 截面数据作为样本时，为什么一般不考虑序列 相关性？
ˆ j
ˆ
* j
•应用软件中的广义差分法
– 在Eview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦-奥
科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。
–在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到参 数和ρ1、ρ2、…的估计值。
–其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在估计过 程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。
• 如何从直观上理解LM统计量？ • 从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。
五、序列相关的补救
1、广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）
• GLS的原理与WLS相同，只是将权矩阵W换为 方差协方差矩阵Ω。
• 模型的GLS估计量为：
Coμ vμ (),E(μ μ )2121
• D.W检验步骤:
• 计算DW值
• 给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU • 比较、判断
0<D.W.<dL
dL<D.W.<dU dU <D.W.<4－dU 4－dU <D.W.<4－ dL 4－dL <D.W.<4
存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
• 证明：当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自 相关。
t1t 12t 2 L pt pt
Y t 0 1 X t 1 L k X t K 1 t 1 L p t p t
H0: 1=2=…=p =0
LM (Tp)R2~2(p)
T为样本容量， R2为如下辅助回 归的可决系数
e % t 0 1 X t 1 L k X t K 1 e % 1 L p e % t p t
– 由于在时间序列的平稳性检验和协整检验中都涉及到 序列相关，所以，将它作为第一节讨论的内容。
• 格兰杰因果关系检验（§5.4）
– 格兰杰因果关系检验，在时间序列计量经济学模型建 模时被广泛应用，并且存在滥用和错用现象。
– 从应用的角度出发，将格兰杰因果关系检验单独作为 一节。
– 借此对自回归模型和向量自回归模型的概念进行必要 的介绍。
• 广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差 分模型，再进行OLS估计。
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
t 1 t 1 2 t 2 lt l t
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l ) k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t 该模型为广义差分模型，不存在序列相关问题。
Multiplier)
• 具有共同的思路。
• 基本思路:
首 先 ， 采 用OLS法 估 计 模 型 ， 以 求 得 随 机 误 差 项 的 “ 近 似 估 计 量 ” ， 用 e~i 表 示 ：
e~i Yi (Yˆi)0ls
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。
Y t 1 Y t 1 l Y t p 0 ( 1 1 p ) 1 ( X t 1 X t 1 l X t p )
k ( X k t1 X k 1 t l X k p ) t t
ˆ1,ˆ2,,ˆp
ˆ0*,ˆ1*,,ˆk*
ˆ0ˆ0 *(1ˆ1 ˆp)
n e~t2 n e~t21 2 n e~te~t1
D.W. t2
t2
t2
n e~t2
t1
条件？
n ~et~et1
D.W. 2(1 t2
) 2(1)
n ~et2
t1
完全一阶正 相关，=1， D.W. 0 ； 完全一阶负 相关，= -1, D.W. 4； 完全不相关， =0，
D.W.2
5、拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）检验
–如果样本是独立随机抽取，从理论上讲，不存在序 列相关。
–实际上，许多截面样本不是独立随机抽取，例如采 用我国大陆31个地区为样本，则存在序列相关。但 是，其序列相关性十分复杂，为此发展了独立的 “空间计量经济学”。
–不考虑≠不存在
三、序列相关性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Autocorrelation
3、随机误差项相关系数的估计
• 应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随 机误差项的相关系数1, 2, … , L 。 • 实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必 须首先对它们进行估计。
• 常用的估计方法有：
– 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法 – 杜宾（durbin）两步法
2、图示法
3、回归检验法
e~t e~t1t
e ~ t1 e ~ t 12 e ~ t 2t
……
• 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立， 则说明原模型存在序列相关性。 • 回归检验法的优点是：
• 能够确定序列相关的形式； • 适用于任何类型序列相关性问题的检验。
4、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
– 以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存在相 关性，称为：Serial Autocorrelation。
– 习惯上统称为序列相关性（Serial Correlation or Autocorrelation）。
Y t 0 1 X t 1 2 X t 2 L k X t k t ,t 1 , 2 , L , T
• 几个概念
– 如果能够找到一种方法，求得Ω或各序列相关系数j
的估计量，使得GLS能够实现，则称为可行的广义 最小二乘法（FGLS, Feasible Generalized Least Squares）。
– FGLS估计量，也称为可行的广义最小二乘估计量 （feasible general least squares estimators）。
第五章 时间序列计量经济学Baidu Nhomakorabea型
§5.1 时间序列模型的序列相关性 §5.2 时间序列的平稳性及其检验 §5.3 协整与误差修正模型 §5.4 格兰杰因果关系检验
关于本章教学内容设计的说明
• 时间序列的平稳性检验（§5.2节）
– 以时间序列数据为样本，时间序列性破坏了随机抽样 的假定，经典计量经济学模型的数学基础能否被满足？
• 杜宾（durbin）两步法
该方法仍是先估计1,2,,l，再对差分模型进行
估计。
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l )
k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t
12 2
2
1 2nn2Ω
n1 n2 n2
β ˆ(XΩ 1X )1XΩ 1Y
• 如何得到矩阵？
对的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。
例如设定随机扰动项为一阶序列相关形式
i=i-1+i
1
Co(μ vμ ),1 22
n1
1
n2
n1
n22Ω
1
2、广义差分法(Generalized Difference)
• 科克伦-奥科特迭代法
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
采用OLS 法估计
随机误差项的“近似估计值”，作为方程的样本观测
值 t 1 t 1 2 t 2 lt l t
ˆ1,ˆ2,,ˆp
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l )
• 由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于 1978年提出的，也被称为GB检验。
• 适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释 变量的情形。
• 对原模型进行OLS估计，用残差近似值的辅助回 归模型的可决系数构造统计量。
Y t 0 1 X t 1 2 X t 2 L k X t k t ,t 1 , 2 , L , T
• 时间序列模型的序列相关问题（§5.1节）
– 采用时间序列数据建立计量经济学模型，无论是平稳 时间序列和非平稳时间序列，模型随机误差项一般都 存在序列相关，这就违背了经典模型的一个重要的基 本假设。
– 所以模型的序列相关性肯定是时间序列计量经济学模 型必须重点讨论的一个问题。
§5.1 时间序列模型的序列相关性
一、序列相关性 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、序列相关的补救 六、虚假序列相关问题 七、案例
一、序列相关性的概念
• 序列相关性
– 模型随机项之间不存在相关性，称为：No Autocorrelation。
– 以截面数据为样本时，如果模型随机项之间存在相 关性，称为：Spatial Autocorrelation。
• 与异方差性引起的后果相同： – 参数估计量非有效 – 变量的显著性检验失去意义 – 模型的预测失效
四、序列相关性的检验 Detecting Autocorrelation
1、检验方法的思路
• 序列相关性检验方法有多种：
– Graphical Method – Regression Method – Durbin-Watson Test (D.W. test) – Breusch-Godfrey (BG) Test, (LM test, Lagrange
其他基本假设仍成立，随机扰动项存在序列相关:
C( oi, vj)E (ij)0
2
Var(μ)E(μμ) M
L O
E(M 1T)
E(T1) L 2
2 L
M
O
T 1 L
1T M
2Ω2I
2
• 一阶序列相关，或自相关
E( i i1)0 i1,2,L,n1
i i1i
ρ称为自协方差系数（coefficient of autocovariance） 或一阶自相关系数（first-order coefficient of autocorrelation）
• 杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson)于1951 年提出的一种检验序列自相关的方法。
• 该方法的假定条件是：
–解释变量X非随机； – 随机误差项i为一阶自回归形式：i=i-1+I ； – 回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量； – 回归含有截距项。
• 对原模型进行OLS估计，用残差的近似值构造 统计量。
• D.W. 统计量:
H0: =0
n (e~t e~t 1 ) 2
D.W . t 2
n e~t2
t 1
该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系， 因此其精确的分布很难得到。
但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU ，且 这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与 解释变量X的取值无关。
k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t
ˆˆ0,ˆˆ1,,ˆˆk
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
ˆˆ1,ˆˆ2,,ˆˆp
第二次估计
• 类似地，可进行第三次、第四次迭代。 • 两次迭代过程也被称为科克伦-奥科特两步法。
–可行的广义最小二乘估计量不再是无偏的，但却是 一致的，而且在科克伦-奥科特迭代法下，估计量也 具有渐近有效性。
– 如果所有时间序列是平稳的，时间序列的平稳性可以 替代随机抽样假定，可以采用时间序列数据建立经典 计量经济学模型。
– 所以，首先必须对用统计数据构造的时间序列进行平 稳性检验。
• 时间序列的协整检验（§5.3节）
– 实际经济时间序列大都是非平稳的，那么，在非平稳 时间序列之间能否建立计量经济学结构模型？
二、实际经济问题中的序列相关性
• 没有包含在解释变量中的经济变量固有的惯性。
• 模型设定偏误（Specification error）导致随 机项中有一个重要的系统性影响因素 。
• 数据的“编造”。
• 时间序列数据作为样本时，一般都存在序列相 关性。
• 截面数据作为样本时，为什么一般不考虑序列 相关性？
ˆ j
ˆ
* j
•应用软件中的广义差分法
– 在Eview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦-奥
科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。
–在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到参 数和ρ1、ρ2、…的估计值。
–其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在估计过 程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。
• 如何从直观上理解LM统计量？ • 从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。
五、序列相关的补救
1、广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）
• GLS的原理与WLS相同，只是将权矩阵W换为 方差协方差矩阵Ω。
• 模型的GLS估计量为：
Coμ vμ (),E(μ μ )2121
• D.W检验步骤:
• 计算DW值
• 给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU • 比较、判断
0<D.W.<dL
dL<D.W.<dU dU <D.W.<4－dU 4－dU <D.W.<4－ dL 4－dL <D.W.<4
存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
• 证明：当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自 相关。
t1t 12t 2 L pt pt
Y t 0 1 X t 1 L k X t K 1 t 1 L p t p t
H0: 1=2=…=p =0
LM (Tp)R2~2(p)
T为样本容量， R2为如下辅助回 归的可决系数
e % t 0 1 X t 1 L k X t K 1 e % 1 L p e % t p t
– 由于在时间序列的平稳性检验和协整检验中都涉及到 序列相关，所以，将它作为第一节讨论的内容。
• 格兰杰因果关系检验（§5.4）
– 格兰杰因果关系检验，在时间序列计量经济学模型建 模时被广泛应用，并且存在滥用和错用现象。
– 从应用的角度出发，将格兰杰因果关系检验单独作为 一节。
– 借此对自回归模型和向量自回归模型的概念进行必要 的介绍。
• 广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差 分模型，再进行OLS估计。
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
t 1 t 1 2 t 2 lt l t
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l ) k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t 该模型为广义差分模型，不存在序列相关问题。
Multiplier)
• 具有共同的思路。
• 基本思路:
首 先 ， 采 用OLS法 估 计 模 型 ， 以 求 得 随 机 误 差 项 的 “ 近 似 估 计 量 ” ， 用 e~i 表 示 ：
e~i Yi (Yˆi)0ls
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。
Y t 1 Y t 1 l Y t p 0 ( 1 1 p ) 1 ( X t 1 X t 1 l X t p )
k ( X k t1 X k 1 t l X k p ) t t
ˆ1,ˆ2,,ˆp
ˆ0*,ˆ1*,,ˆk*
ˆ0ˆ0 *(1ˆ1 ˆp)
n e~t2 n e~t21 2 n e~te~t1
D.W. t2
t2
t2
n e~t2
t1
条件？
n ~et~et1
D.W. 2(1 t2
) 2(1)
n ~et2
t1
完全一阶正 相关，=1， D.W. 0 ； 完全一阶负 相关，= -1, D.W. 4； 完全不相关， =0，
D.W.2
5、拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）检验
–如果样本是独立随机抽取，从理论上讲，不存在序 列相关。
–实际上，许多截面样本不是独立随机抽取，例如采 用我国大陆31个地区为样本，则存在序列相关。但 是，其序列相关性十分复杂，为此发展了独立的 “空间计量经济学”。
–不考虑≠不存在
三、序列相关性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Autocorrelation
3、随机误差项相关系数的估计
• 应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随 机误差项的相关系数1, 2, … , L 。 • 实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必 须首先对它们进行估计。
• 常用的估计方法有：
– 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法 – 杜宾（durbin）两步法
2、图示法
3、回归检验法
e~t e~t1t
e ~ t1 e ~ t 12 e ~ t 2t
……
• 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立， 则说明原模型存在序列相关性。 • 回归检验法的优点是：
• 能够确定序列相关的形式； • 适用于任何类型序列相关性问题的检验。
4、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
– 以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存在相 关性，称为：Serial Autocorrelation。
– 习惯上统称为序列相关性（Serial Correlation or Autocorrelation）。
Y t 0 1 X t 1 2 X t 2 L k X t k t ,t 1 , 2 , L , T
• 几个概念
– 如果能够找到一种方法，求得Ω或各序列相关系数j
的估计量，使得GLS能够实现，则称为可行的广义 最小二乘法（FGLS, Feasible Generalized Least Squares）。
– FGLS估计量，也称为可行的广义最小二乘估计量 （feasible general least squares estimators）。
第五章 时间序列计量经济学Baidu Nhomakorabea型
§5.1 时间序列模型的序列相关性 §5.2 时间序列的平稳性及其检验 §5.3 协整与误差修正模型 §5.4 格兰杰因果关系检验
关于本章教学内容设计的说明
• 时间序列的平稳性检验（§5.2节）
– 以时间序列数据为样本，时间序列性破坏了随机抽样 的假定，经典计量经济学模型的数学基础能否被满足？
• 杜宾（durbin）两步法
该方法仍是先估计1,2,,l，再对差分模型进行
估计。
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l )
k ( X k t 1 X k 1 t l X k l ) t t
12 2
2
1 2nn2Ω
n1 n2 n2
β ˆ(XΩ 1X )1XΩ 1Y
• 如何得到矩阵？
对的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。
例如设定随机扰动项为一阶序列相关形式
i=i-1+i
1
Co(μ vμ ),1 22
n1
1
n2
n1
n22Ω
1
2、广义差分法(Generalized Difference)
• 科克伦-奥科特迭代法
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k ii
采用OLS 法估计
随机误差项的“近似估计值”，作为方程的样本观测
值 t 1 t 1 2 t 2 lt l t
ˆ1,ˆ2,,ˆp
Y t 1 Y t 1 l Y t l 0 ( 1 1 l ) 1 ( X 1 t 1 X 1 t 1 l X 1 t l )
• 由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于 1978年提出的，也被称为GB检验。
• 适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释 变量的情形。
• 对原模型进行OLS估计，用残差近似值的辅助回 归模型的可决系数构造统计量。
Y t 0 1 X t 1 2 X t 2 L k X t k t ,t 1 , 2 , L , T