数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.

求函数11

(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

解：

11

(,)f x y y x =

=，

因此二重极限为0.……(4分)

因为011x y x →+

与011

y y x

→+均不存在，

故二次极限均不存在。 ……(9分)

2. 设(),

()y y x z z x =⎧⎨=⎩

是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别

具有连续的导数和偏导数,求dz

dx

.

解： 对两方程分别关于x 求偏导:

， ……(4分)

。 解此方程组并整理得()()()

()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++. ……(9分)

3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程

222z z z

z x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。 设,,22

y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）.

解：z 看成是,x y 的复合函数如下：

,(,),,22

y w x y x y

z w w e μνμν+-====

。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得：

2222w w

w μμν

∂∂+

=∂∂∂。 ……(9分)

4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: 222S rh r ππ=+表,

()()(1)0x y

z dz

dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩

约束条件: 21r h π=。 ……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 2

2420,20.r h

F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分) 解得2h r =

，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

径为r =

高为h =时，制作圆桶用料最省。 ……(9分)

5. 设3

2

2

()y x y

y F y e dx -=

⎰,计算()F y '.

解：由含参积分的求导公式

33222

2

3

2

2222()32y y x y

x y x y

x

y x y

x y y y

y

F y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5分)

3

2

7

5

22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰

37522

2751222y y y x y

y y e ye e dx y ---=--

⎰。 ……(9分)

6. 求曲线2

22222x y xy

a

b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.

解：利用坐标变换cos ,

sin .x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩

由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可

以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

(

),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。 ……(3分) 则

(,)

2(,)

x y V d d ρθρθΩ∂=∂⎰⎰

1

2

2sin cos 200

2ab c d ab d π

θθθρρ

⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰

……(6分)

22

2

20

sin cos a b d c π

θθθ=

⎰

222

2a b c =. ……(9分)

7. 计算曲线积分352L

zdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面

3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为

(

)cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛

= ⎝

。 ……(3分)

由Stokes 公式得

352L

zdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z z x y αβγ∑∂∂∂

=∂∂∂-⎰⎰

dS ∑

= ……(6分)

221

x y +≤=⎰⎰

2π= ……(9分)

8. 计算积分S yzdzdx ⎰⎰,S 为椭球222

2221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.

解：椭球的参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===，其中

02,0,2

π

θπϕ≤≤≤≤

且

2(,)

sin sin (,)

z x ac ϕθϕθ∂=∂。 ……(3分)

积分方向向下，取负号，因此，

yzdzdx ∑

=⎰⎰

22322

sin cos sin d bac d π

π

θϕϕθϕ-⎰⎰

……(6分)

222320

sin sin cos bac d d π

π

θθϕϕϕ

=-⎰⎰

2

4

abc

π

=-

……(9分)

二. 证明题（共3题，共28分）

。 9.（9分） 讨论函数3

2224

22,0()0,0xy x y x y f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在原点(0,0)处的连续性、

可偏导性和可微性.

解：连续性：当220x y +≠时，

2242424

()022

xy x y y y

f x y x y x y +=⋅≤⋅=→++，当()(),0,0x y →， 从而函数在原点()0,0处连续。 ……(3分) 可偏导性：()()()

0,00,00,0lim

0x x f x f f x

∆→+∆-==∆，