包络和奇解

曲线族包络的定义
给定的单参数曲线族： 给定的单参数曲线族：
Φ( x , y , c ) = 0,
(2.10)
其中c是参数, Φ ( x, y, c)是x, y, c的连续可微函数,
曲线族(2.10)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 的 曲线族 曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有 中 但过这曲线的每一点有 但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条 曲线 中的一条 曲线和它在这点相切.
具体m文件如下： 具体 文件如下： 文件如下 clear hold on x=-300:0.1:300; for c=-100:17:100 y1=c*(x+1)+c.^2; plot(x,y1, ‘r') end • hold on • y=-1/4*(x+1).^2; • • • •
• plot(x,y,'.k')
曲线族包络的求法： 曲线族包络的求法：
Φ( x , y , c ) = 0 ' Φc ( x, y, c ) = 0
Φ( x, y, c) = 源自文库,
(2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 (2.10)
( 2.11)
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
曲线F ( x , y ) = 0称为(2.10)的 c − 判别曲线.
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• MATLAB做法：（以下题为例） 做法：（以下题为例） 做法：（以下题为例 • 例：y=c*x+c^2;求它的包络，并画出图像。 求它的包络， 求它的包络 并画出图像。 ）：求包络 （1）：求包络 ）： • syms x y c; • f = c*x+c^2-y • dfc = diff(f, c) • S = solve(f,dfc) • S1x = S.x • S1y = S.y • 运行后得到： 运行后得到： • (2)画曲线族 画曲线族 • hold on • for c = -10:0.5:10 • x = -10:0.1:10;
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• 2.包络线的画法：先看一个简单的例子。 包络线的画法：先看一个简单的例子。 包络线的画法 怎样画曲线y=2*exp（例：怎样画曲线 （ 0.5*x）.*sin(2*pi*x)的包络线 的包络线? ） 的包络线 • x = 0:.01:5; • y=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x); • f1 = 2*exp(-0.5*x); • f2 = -2*exp(-0.5*x); • plot(x,y,x,f1,':r',x,f2,':r') • 所得图像如下图：（可看出只需把 所得图像如下图：（可看出只需把sin ：（可看出只需把 项换成正负一） 和cos项换成正负一） 项换成正负一
• 2.用MATLAB绘制微分方程的奇解和包络曲线 用 绘制微分方程的奇解和包络曲线 下面给出一个具体的例子。 下面给出一个具体的例子。 例2：(dy/dx)^2+(x+1)*dy/dx-y=0; ： 第一步：先用MATLAB求通解。 第一步：先用 求通解。 求通解 y=dsolve(‘Dy*Dy+(x+1)*Dy-y=0’,’x’) 得到通解： 得到通解：y=c(x+1)+c^2; 奇解（ 奇解（x+1)^2+4y=0; 第二部：画出通解的积分曲线族， 第二部：画出通解的积分曲线族，取一些特殊 的c值。 值 第三步：做通解的包络，即为奇解曲线。 第三步：做通解的包络，即为奇解曲线。
• • • • • • • • • •
y = c*x+c.^2; plot(x,y) End （3）画包络： ）画包络： hold on; c1 = -5:0.1:5; x1 =-2*c1 ; y1 =-c1.^2 ; plot(x1,y1,'r','LineWidth',2) 得到图形如下： 得到图形如下
• hold off
• 得出如下图形
小结
MATLAB对我们数学专业的学生来说，是 对我们数学专业的学生来说， 对我们数学专业的学生来说 一个特别实用的工具。 一个特别实用的工具。我们一定要尽可能 深入的掌握它， 深入的掌握它，用它来帮助我们进行各种 各样的数学运算。图书馆有很多这样的书。 各样的数学运算。图书馆有很多这样的书。 谢老师有句话说得好： 谢老师有句话说得好：大学里没有培养好 自己的自学能力就等于白学！ 自己的自学能力就等于白学！希望大家记 住老师的话并付诸于行动！谢谢！ 住老师的话并付诸于行动！谢谢！
包络和奇解的MATLAB做法 做法 包络和奇解的
10073211 张丽萍
• 1.包络和奇解定义 包络和奇解定义 对某些常微分方程， 对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲 他不属于这方程的积分曲线族，但是， 线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这 条特殊的曲线上的每一点处， 条特殊的曲线上的每一点处，都有积分曲线族中 的一条曲线和他在此相切，在几何学上， 的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方 程里， 程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方 程的奇解。 程的奇解。 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（ 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果 存在的话），反之，微分方程的奇解（ ），反之 存在的话），反之，微分方程的奇解（如果存在 的话）一定是微分方程通解的包络。因此， 的话）一定是微分方程通解的包络。因此，为了 求微分方程的奇解，要先求出它的通解， 求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求 通解的包络。 通解的包络。