2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(三)理科数学

2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____（桃源县第四中学）A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故P ⋂Q=[-1，6]故选C 2.设复数z 满足3(1)z i z +=- ，则下列说法正确的是 ( ) A. z 的虚部为2i B.z 为纯虚数C. z =D. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限答案：C 由3(1)z i z +=-得3(3)(1)1212i i i z i i -+-+-===-++，z =3.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若5347S a =+，11a =，则6a = ( ) (桃源一中)A. 37B.16C. 13D. -9答案：B 设等差数列{}n a 的公差为d ，由5347S a =+得：115(51)54(2)72a d a d ?+=++，将11a =代入上式解得3d =，故61511516a a d =+=+=（法二：5347S a =+，又535S a =，所以37a =，由11a =得3d =， 故61511516a a d =+=+=4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中) A ．这16日空气重度污染的频率为0.5 B ．该市出现过连续4天空气重度污染C ．这16日的空气质量指数的中位数为203D ． 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D 这16日空气重度污染的频率为80.516=故A 正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B 正确；中位数为1(192214)2032+=，故C正确；1200[(147543(43)6x =++++-+(120)(48)60(117)(40)-+-++-+-+(21)(62)14216323(8)]200-+-+++++-<，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D 不正确.5.已知P 为抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点，若4PF =，则ΔOPF 的面积为 ( ) (桃源一中)A.3 B. 3 C. 23 D.4答案：A 设00()P x y ，，抛物线的焦点(10)F ，，准线为1x =-，由抛物线的定义可知：0(1)4PF x =--=03x \=代入C 的方程得023y =?，Δ011||||123322OPF S OF y =?创=6.函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y =的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点(0)12π，对称 C ．函数()g x 在(0)2π，上单调递增 D ．函数()g x 的最小正周期为πππ答案：B 由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，2T πω\==，，将点5(3)12π，代入3sin(2)y x ϕ=+，得2()3πφk πk Z =-+?，故()3sin(2)3f x x π=-，右平移12π个单位长度得：()3sin[2()]3sin(2)3cos 21232πππy g x x x x ==--=-=-，故A ，C ，D 正确 ，选B7.已知向量a 与a+b 的夹角为60°，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)A.0B.2-32- D.0或32-答案：A 如图，AB a BC b AC a b ===+uu u r r uu u r r uu u r r r，，，由余弦定理：2222sin BC AB AC AB AC A =+-鬃，已知601A AB BC =?=，，，代入上式得2AC =，222AB BC AC \+=，故90B =?，即a b ^r r ，\0a b ?r r法二：设a r 与b r 的夹角为θ，由题设 ()1||cos60a a b a b ?=??r r r r r，即21||2a a b a b +?+r r r r r ，所以11||2θa b +=+r r，224(1)()4(1)θa b θ\+=+=+r r即22cos cos 0θθ+=，所以cos 0θ=或--(1)式，舍去，故0a b ?r r8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)A.67 B.35 C. 13 D.110答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t £，亮红灯的时间10070t -?，所以3060t ＃，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t ³，由几何概型的概率公式知：6050160303P -==-9.362()x x-的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)A. 240B. 180C. 60-D.80-答案：B 62)x 的通项为63262rr rC x -，所以362()x x -的展开式中的常数项为612344262x C x-和662226(1)2C x --?，又4422662224060180C C -=-=，所以362()x x-的展开式中的常数项为18010.设函数121()(1)x f x ex -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为 ( ) (桃源一中)A. (10)-， B.(1)-?，- C.1(1)3-， D.1(10)(0)3-U ， 答案：D ()f x 的定义域为{|1}x x ¹，考虑函数21()xg x e x =-为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以函数()f x 关于x =1对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ì¹ïïï+?íïï->+-ïïî，解得：113x -<<且0x ¹11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中) A.32 B.94 C. 49D.132+答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为R ，设圆锥底面半径为r ，则圆锥高2h R =，因为甲与乙的体积相等，所以324133πR πr h =，即222R r =，2r R ∴=；设圆锥的外接球半径为1R ，则22211()R r h R =+-即222112(2)R R R R =+-，132R R ∴=，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为2124944R R ππ=.12.已知函数2106()0x x x f x lnx x x ìïï+?ïï=íïï>ïïïî，，，()()g x f x ax =-（其中a 为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)①函数()f x 恰有4个零点； ②对任意实数a ，函数()g x 至多有3个零点； ③若a ≤0，则函数()g x 有且仅有3个零点；④若函数()g x 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为11( 0][ )62e-∞U ，，(桃源一中) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：B 当0x £时，()f x 的图像为抛物线216y x x =+的一部分当0x >时，当0x >时，21ln ()xf x x-¢=，所以(0,)x e Î时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(,)x e ??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，画出()f x 的图像如图所示，由图可知()f x 恰有3个零点，故①不正确； 设()f x 的过原点的切线的斜率为1k ，切点为000ln (,)x P x x ，2ln 1ln ()x x x x -¢=，由022000201ln ln x k x x x k x ì-ïï=ïïïïïíïïïï=ïïïî，解得011,2x e k e == ()f x 在0x =处的切线2l 的斜率为22001111()|(2)|6662x x k x x x e==¢=+=+=<，因为()()g x f x ax =-零点个数，即函数()y f x =与y ax =的交点个数，由图可知：12a e >时，有1个交点；12a e =时，有2个交点；11[ )62a e∈，时，有3个交点；1(0 )6a ∈，时，有4个交点；(,0]a ∈-∞时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.（说明：显然0x =是()g x 的零点，x ≠0时，也可转化为()f x a x=零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xf x xe x =++，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为__2y x =__.(桃源一中)14已知实数,x y 满足约束条件10330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则=32z x y -的最小值为 -215.已知数列{}n a 的各项为正，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2113()2nn n na a n N a a *++=?-，11a =，则5S =___121________.(桃源一中)16. 已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>，O 是坐标原点，F 是C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,,A B 且OAB ∠为直角，记OAF ∆和OAB∆的面积分别为OAF S ∆和OAB S ∆，若13OAF OAB S S ∆∆=，则双曲线C 的离心率为答案：.3或三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知向量m (sin x =-，，n =(1cos )x ，，且函数()f x =mn .(Ⅰ)若5(0 )6πx Î，，且2()3f x =，求sin x 的值； (Ⅱ)在锐角ΔABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a ，=4ΔABC的面积为 且1()sin 32πf A c B +=，求ΔABC 的周长. (桃源一中)解：(Ⅰ)()f x =mn (sin x =-，(1cos )x ×，sin x x =-2sin()3πx =-………………(2分）Q 2()3f x =，\1sin()33πx -=又5(0 )6πx Î，，( )332πππx \-?，，cos()33πx -=……………………(4分）所以111sin sin[()]3332326ππx x +=-+=??……………………(6分） (Ⅱ)因为1()sin 32πf A c B +=，所以12sin sin 2A cB =，即4sin sin A c B =由正弦定理可知4a bc =，又a =4所以bc =16 ……………………(8分）由已知ΔABC的面积1sin 2bc A =sin A =，又(0)2πA Î，\3πA =……………………(10分） 由余弦定理得222cos 1b c bc A +-=，故2232b c +=，从而2()64b c += 所以ΔABC 的周长为12……………………(12分） 18．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB AD ⊥，22AD BC AB ==，O 是AD 的中点． (Ⅰ)在线段PA 上找一点E ，使得BE ∥平面PCD ，并证明；(Ⅱ)在(1)的条件下，若2PA PD AD ===，求平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)解：(Ⅰ)E 是线段PA 的中点，……………………(1分） 证明：连接BE ，OE ，OB ，∵O 是AD 的中点，∴OE PD ∥，又OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴OE ∥平面PCD ，……………………(3分）又∵底面ABCD 是直角梯形，22AD BC AB ==，∴OB CD ∥，又OB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴OB ∥平面PCD ，……………………(4分）∵OE ⊂平面OBE ，OB ⊂平面OBE ，OE OB O =I ， ∴平面OBE ∥平面PCD ，又BE ⊂平面OBE ，∴BE ∥平面PCD ．……………………(6分） （也可通过线线平行来证明线面平行）(Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，且1OC =，3PO =，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -，……………………(8分）得()0,0,0O ，()1,1,0B -，()0,0,3P ，()1,0,0C ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得130,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,0OB =-u u u r ，设(),,m x y z =u r是平面OBE 的一个法向量，则m OE m OB⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得300y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3x =，得()3,3,1m =u r，……………………(10分）又易知()0,1,0n =r是平面POC 的一个法向量，设平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅u r r u r r u r r ， 即平面OBE 与平面POC所成的锐二面角的余弦值为7．……………………(12分）19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg ，按1kg 计算)需再收4元．该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率； (Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为102535+=，频率为3575010f ==，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为710………(2分）未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X 服从二项分布，即7(3 )10X B :， 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：12373189()()10101000P C ==………(5分）(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为 ()14383012151682042412100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………(7分） ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240∴公司每日利润的期望值为1240125805603⨯⨯-⨯=元………(9分） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下： E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235∴公司每日利润的期望值为1235124806203⨯⨯-⨯=元………(11分） 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且21==ON DN ，1=DM ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．快递费（元）8 12 16 20 24 包裹件数43301584件数范围 (0，100] (100,200] (200,300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数Y50 150 250 350 450 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数Y50 150 250 350 400 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（2)设2F 为曲线C 的右焦点，P 为曲线C 上一动点，直线2PF 斜率为)0(≠k k ，且2PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点),0(t T ，使得TQP TPQ ∠=∠,若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设),(y x M 则）（0,2x D ，则1)2(22=+-y x x 及1422=+y x 5'Λ（2）设直线PQ 的方程为(3)y k x =，将(3)y k x =代入2214x y +=，得()222214831240k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，(2121200022433,3214214x x y y k kx y k x k k ++-=====++， 即2433k k N -⎝⎭8'Λ因为TQP TPQ ∠=∠所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-， 所以33334k t k k==+01'Λ2341143ktk k k --+=-当0k >时，因为144k k +≥，所以0,4t ⎛∈ ⎝⎦，当k 0<时，因为144k k +≤-，所以,04t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭.综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t 的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦21'Λ21．（本小题12分）已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，其中 2.71828e =L 为自然对数的底数.（1）若()1f x ≥，求实数a 的值； （2）证明：2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--.（常德市一中） 解：（1）法一：当0a ≤时，111()(ln )1222h a a =-+=-<与()1f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a >时，(1)()'()x x xe a f x x+-=，令()x x a h e x =-，则'()(1)0x h x x e =+>，所以()h x 在(0,)+∞上递增，又(0)0h a =-<，()(1)0a a h a ae a a e =-=-> 故存在0(0,)x ∈+∞，使0()0h x =，且00x x e a =，00l n n l x x a =+当0(0,)x x ∈时，()0h x <，'()0f x <，()f x 递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，'()0f x >，()f x 递增 所以0min 0000()())n n l (l x e a a a f x f x x a x x ==-=-+故()1f x ≥，即ln 10a a a --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--， 则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = 综上，实数a 的值为1法二：ln ()(ln )(ln )x x x f x xe a x x e a x x +=-+=-+，令ln ,t x x t R =+∈ 则()1f x ≥等价于10t e at --≥，对任意t R ∈恒成立，令()1t h t e at =--， 当0a <时，10()220ah t e e =-<-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()1t h t e =-，11(1)110h e e--=-=-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意； 当0a >时，'()t a h t e =-，()h t 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，所以()h t 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =--令()ln 1a a a a ϕ=--，则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = （2）由（1）知，当1a =时，ln 1x xe x x --≥，即ln 1x xe x x ≥++， 所以22ln x x e x x x x ≥++，下面证明2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+--，即证：222sin 0x x x -+-> 令2()22sin g x x x x =-+-，'()212cos g x x x =--当01x <≤时，显然'()g x 单调递增，'()'(1)12cos112cos 03g x g π≤=-<-=，所以()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)22sin10g x g ≥=->， 当1x >时，显然2,22sin 0x x x ->-≥，即()0g x >故对一切(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+-- 故原不等式2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--成立22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：10x y +-=，曲线 2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x (ϕ为参数,0>a )，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(Ⅰ)说明2C 是哪一种曲线，并将2C 的方程化为极坐标方程.(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为0θα=(0>ρ)，其中0tan 2α=，0(0)2παÎ，，且曲线 3C 分别交1C ，2C 于点A ，B两点，若3OB OA =，求a 的值. (桃源一中)解：(Ⅰ) 由⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x 消去参数ϕ得：2C 的普通方程为222)1(a y x =-+，……………………（2分）则2C 是以)10(，为圆心，a 为半径的圆. ……………………（3分）∵θρθρsin ,cos ==y x ，∴2C 的极坐标方程为222)1sin ()cos (a =-+θρθρ，即2C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ，……………………（5分）(Ⅱ)曲线3C 极坐标方程为0θα=(0>ρ)，0tan 2α=，且0sin α=所以曲线3C 的直角坐标方程为2y x =)0(>x由102x y y x ì+-=ïïíï=ïî解得：1323x y ìïï=ïïíïï=ïïïî，12()33A \，……………………（7分）OA \=，OB \=8分）故点B的极坐标为0)α，代入01sin 222=-+-a θρρ得a =10分）23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲] 设函数()|||1|f x x a x =+++.(I)若1a =-，求不等式()3f x ≤的解集;(II)已知关于x 的不等式()|2|6f x x x ++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.解：( I) 1a =-时，21()|1||1|21121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，由()3f x ≤得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. …………(5分)(II)由题知|||1||2|6x a x x x +++++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，且当[]1,1x ∈-时，|1|1,|2|2x x x x +=++=+，||3x a x ∴+≤-，33x a x x ∴-≤+≤-，332a x ∴-≤≤-， …………(7分)又函数32y x =-在[]1,1x ∈-上的最小值为1，31a ∴-≤≤，即a 的取值范围是[]3,1-. …………(10分)。