结构力学第二章

第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
★★体系几何组成分析的目的：
a、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受 荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
b、了解结构各部分之间的组成关系，有助于改善和提高 结构的性能。
c、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的
计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的求解途径。
5
造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者 是外部约束不恰当
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式
一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在
一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 2. 两个刚片之间的组成方式
II
III
两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连,且 三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几 何不变体系。
连结n 个刚片的复铰相当于 (n－1)个单铰。
y
x
A
Ⅲ 3
Ⅰ1
2
yⅡ
10
思考
复刚 复链杆
一个连接 n个刚片的复刚相当3(n-1) 个约束。
连接n个结点的复链杆相当于2n-3个 单链杆
11
c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由 度保持不变，则此约束称为多余约束。
必要约束
多余约束
I II III
3. 三个刚片之间的组成方式 三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰
不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体
系。
三角形规律
I
30
1. 二元体规则
在体系中添加或去掉二元体，不会改变体系的几何性质和多余约 束数。
2. 两刚片规则
I
表述一：平面上的两个刚片通过一铰和一链杆相连，如果链杆所在 直线不通过铰心，则组成无多余约束的几何不变体系
FP A C
B
FP A
B
A1
B1
C
D
D
(a) 原几何不变体系
(b) 内部构造不健全
图2.2 内部构造不健全造成几何可变
FP
A
B
FP A
A1
C C1
B B1
(a) 原几何不变体系
(b) 外部约束布置不当
图2.3 外部约束布置不当造成几何可变
6
2. 几个基本概念 2.1刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
体系中能够减少自由度的装置称为约束。
a.单约束：紧连接两个钢片的约束
3-2=1
1根单链杆=1个约束
链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起 到两铰连线方向约束作用即可
6-4=2
1个单铰=2个约束 =2根单链杆 9
6-3=3
1个刚节点=3个约束
b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束
复铰：连结两个以上刚片的 铰称为复铰。
39
减加二元体简组化成分 结析构
40
加、减 二元体
无多几何不变 41
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元 体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
42
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
43
例2 1,.3
2.,3 .1,2
例3
.
无多余约束的几何不变体系
几何瞬变体系
4.3 几何可变体系
17
Ⅰ C
A [Ⅰ, Ⅱ]
D
B
Ⅱ
(a) 有限远虚铰情形1
[Ⅰ, Ⅱ]
Ⅰ C
A
B
D
Ⅱ
(b) 有限远虚铰情形2
图2.10 虚铰的常见情形
Ⅰ C
A
B
D
Ⅱ
(平面体系自由度计算 计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
对表述一，若链杆所在直线过铰心，将导致体系几何 瞬变，如图2.25所示。
Ⅰ
①
A
C
B
图2.25 不满足二刚片规则表述一的几何瞬变体系
46
对表述二，可分为图2.26所示的两类四种情况来讨论： （1）三根链杆常交一点，则体系几何常变，如图2.26 (a)、 (b)，其中图2.26(b)中三根链杆全部平行且等长。 （2）三根链杆瞬交一点，则体系几何瞬变，如图2.26 (c)、 (d)，其中图2.26 (d)中三根链杆全部平行但不全等长
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
链杆和支杆的个数，因此 b=13、r=3。最终该体系的计 算自由度为
j1 1b j2
1b 1b 1b
j3 1b j4
1b 1b
j7 2r
1b 1b 1b
j6 j5 1b
1b 1b
1r j8
W 28 (13 3) 0
21
【例2】：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
19
常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称 为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用 以下更为简捷的公式计算
W 2 j (b r)
j---结点个数 b---单链杆数 r---支座链杆
20
【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。
【解】在图2.13中，用j1~j8表 示体系中的各个全铰，因此 j=8。在链杆和支杆旁，分别 用数字与b或r的组合来表示
d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体 系的自由度，则此约束称为必要约束。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响
12
内容扩展内容
支杆、 固定铰支座、 定向支座、 固定支座的约束效果
Ⅱ
视作
Ⅰ(地基)
(a) 支杆 （活动铰支座）
(b) 固定铰支座
(c) 定向支座
(d) 固定支座
13
（1）支杆（活动铰支座） 将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆 约束效果时的刚片Ⅰ和Ⅱ，则容易类比得到一根支 杆相当于一个约束。 （2）固定铰支座 固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当 于两个约束。 （3）定向支座 定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当 于两个约束。 （4）固定支座 固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支 承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。
m9
1r 1h
W 39 (3 4 2 7 3) 2
26
练习题：计算自由度
m ＝7
h＝9 b＝３
Ｗ ＝３×７－（２×９＋3）＝０
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
计算自由度W与几何组成性质之间的关系
体系为几何不变体系除满足约束 (a个) W数>0 ，尚须约束的合理布置(。b) W>0
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ (a) 几何常变体系
Ⅰ (b) 几何常变体系
[Ⅰ, Ⅱ]
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ (c) 几何瞬变体系
2
3
1
Ⅰ
(d) 几何瞬变体系
图2.26 不满足二刚片规则表述二的几何可变体系
47
3）不满足三刚片规则的约束条件 如果三铰共线，且全是有限远铰，则体系几何瞬变，如 图2.27所示。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
点与刚片两杆连，二杆不共线 两个刚片铰、杆连，铰不过杆 三个刚片三铰连，三铰不共线 两个刚片三杆连，三杆不共点
组成没有 多余约束 的几何不 变体系
A A
B
B
AC
A
B
B
注 1：四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
4.2 利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：
（1） 从基础出发，由近及远，由小到大
学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静 定结构与超静定结构的概念。
学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系 的几何组成性质。
2
1 体系几何组成的定义 a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。
b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置保持不变的体系。
有限外力的作用下，将产生无穷大的内力，这会导致体系迅速
破坏，因此，几何瞬变体系不能作为结构。 45
4.4 几何可变体系同几何组成规则之间的关系
1）不满足二元体规则的约束条件 若计划用于组成二元体的两链杆共线（或称这两链杆
夹角为p），则这两链杆组成的装置不能再称作二元体，同 时，也就不能在体系中增删这样的装置。 2）不满足二刚片规则的约束条件
2.4.1 几何常变体系和几何瞬变体系
B l
FP
A
C
A1 l
FP
FN
FN
A1
(a) 原体系
图2.24
(b) A 结点隔离体
现分析瞬变体系的受力特点。取A结点为隔离体，如图
2.24(b)所示。由竖向投影平衡得 FP 2FN sin ，即
FN

FP
2 sin
由于微小转角q →0，所以FN→∞。这表明，该几何瞬变体系在
W>0，表明体系缺少必要的约束装置，一定为几何可变体系。
(a) W=0且几何不变
(b) W=0且几何可变
W=0，表明体系已具备必要的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变
(a) W<0且几何不变
(b) W<0且几何可变
W<0，表明体系具备多余的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变
28
w 3m (2h r)
3 3 (2 2 4)
1
24
例5：计算图示体系的自由度 解:j=9,b=15,r=3
W 2jbr 2 9 15 3 0
25
【例6】试求图2.12所示体系的计算自由度。
【解】在图2.12中，用m1~m9 代表组成该体系的各刚片， 因此刚片总数m=9。在各结
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
22
【例3】：计算图示体系的自由度
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3 3根支座链杆
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
23
例4：计算图示体系的自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4
点处，标明其等效的单刚结 点（用g表示）或单铰（用h 表示）的个数，用g或h前的 数字表示，因此g=4，h=7。
在各支座处，标明其等效的 支杆个数，用r前的数字表示， 因此r=3。最终该体系的计算 自由度由式（2-4）计算为
1h
m1
m2
2h
m4 1g
m6
m7
2h
1h 2r
图2.12
1g
m3
m5
2g
m8
4. 平面几何不变体系的基本组成规则
A ≠
②
③
B
Ⅰ
C
A
Ⅱ
③
B
Ⅰ
C
(b) 二元体规则
Ⅱ B ④⑤
A
③
Ⅰ
C
A
②
③
①
B
C
(a) 总规则
(c) 两刚片规则表述一
A
Ⅱ
Ⅲ
B
Ⅰ
C
(d) 两刚片规则表述一
(e) 三刚片规则
几何不变体系的总规则和基本组成规则
29
4.1讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。