结构力学第二章
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结构力学第二章
I
1 2
3
II
II
两刚片规则：两刚片之间用一个铰和一根链杆相联结，且铰 不在链杆的直线上；或者用三根既不平行也不交于一点的链 杆相联结，则组成几何不变体系，且无多余约束。
§2-2 无多余约束几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式 B I II C III
三刚片规则：三个刚片之间用三个 不共线的铰（实或虚铰）两两相连，
动，体系是可变体系。 (2)当A 点沿公切线发生微小位移后，链 杆1和2不再共线，因此体系不再是可变 体系。
Ⅰ
§2-1 几何构造分析的几个概念
接近瞬变体系结构的受力分析
α
A
C P
α
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
2 NCA Sin P
N CA
P 2 Sin
若α 很小，NCA就很大。
有多余约束的几何不变体系----超静定结构 几何可变体系----存在未能满足的平衡条件--机构
§2-3 几何构造分析方法
例2： 刚片I 2 地基作为刚片II 例3： 3 没有多余约束的几何不变体系 1 A 刚片I 没有多余约束的 几何不变体系 B C 刚片II 2 二元体 二元体 二元体
1
地基作为刚片III
§2-3 几何构造分析方法
（2）从体系内部出发进行组装
先运用各种规则把结构内部组装成一个几何不变体系， 然后运用规则把它与基础相连。 例1： 刚片I 2 A 刚片II 3 没有多余约束 的几何不变体系 2
体系进行几何构造分析的目的:
如何判别体系几何不变,几何可变； 怎样组成几何不变体系；
判断静定结构、超静定结构，
判定静定结构的基本部分、附属部分 ----静定结构解题的钥匙
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
结构力学第二章
1b j4 1b
18
【例2】：计算图示体系的自由度
1
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
1
3
有几个刚片？
2
有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
19
例3：计算图示体系的自由度
1 ①
2
②
3
解:
20
计算自由度W与几何组成性质之间的关系
(a) W>0
(b) W>0
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
★★体系几何组成分析的目的：
5
造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者 是外部约束不恰当
FP A B FP A A1 C D C D B B1
(a) 原几何不变体系
(b) 内部构造不健全
43
本章小结 （1）平面杆件体系分为几何不变体系和几何可变体系。 进行几何组成分析的目的主要是：在一个体系被视作刚体体系 的前提下，研究如果保证这个体系成为几何不变体系，从而确 保它能被作为结构使用；同时，根据结构的几何组成，可以判 定结构是静定结构或超静定结构，以便正确选择相应的静力分 析方法和程序，这一点，以后各章经常会用到。 （2）几何不变且无多余约束体系的组成，一般遵循一条 总规则——“三角形规则“（“铰结三角形是内部无多余约束 的几何不变体系”），由此可导出三个基本组成规则——二元 体规则、两刚片规则（含两个表述）和三刚片规则。进行几何 组成分析时，常采用“简化体系→扩展局部→应用规则→作出 结论”的步骤。“三角形规则”对于分析常规体系非常适用， 但它们只是构成几何不变体系的充分条件，而不是必要条件， 因为有些复杂体系并不符合这些几何组成规则，但却也是几何 不变体系。对于复杂体系，可以采用其他的分析方法（如零载 法、矩阵分析法等）来判断确定。 44
结构力学第2章共17页
(3) 判断多余约束的个数时，内部多余约束也应考虑
在内。
上一页
例：图示体系为具有三个多余
下一页 约束的几何不变体系。因为矩形刚片
本身有三个多余约束。
(4) 瞬变体系必有多余约束。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
五、体系的计算自由度与自由度
返回
1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束）
个基本刚片开始。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
返回
1. 二元体
自测
E C
A
DB
帮助
注意：上图的AE与EB(AC与CD)不是二元体，它
们之间多了一根链杆CD(EB)。
开篇
例如，在分析下图所示体系的几何构造时不可以将
退出
DFE视为二元体。因为点F除与杆DF、EF相连外， 还
O2
(b)
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
四、应注意的问题
返回
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。
自测
例如，不能把图a中的 (a) F
帮助
EFGD取作刚片（图b），
因为它是几何可变的。
E
G D
(b)
F
ED G
开篇
(2) 在得出结论时, 应写明体系的几何构造特性, 还
应写明有几个多余约束.
退出
帮助
2. 自由度与几何体系的关系
开篇
几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的体
系都是几何可变体系。
退出
3. 几何性质与静定、超静定的关系
开篇
线，则组成几何不变体系，且无多余约束。
结构力学-第二章
3
(1,2) 1
2
3
5 4 6 4 6
5
(2,3) 4 6
5
(1,2) 1
2
3
1
2 (2,3) 4 6
3
(1,2)
1
2
3
(1,3)
5 4 6
5
5 4
(2,3)
(2,3)
.
(1,2) 6
几何瞬变体系
分析实例
A
B
C E F
D
A
1,3
2,3
A 2,3
1,2 B 1,2 1,3 C E F D B
D C
F E
3. 三个刚片之间的组成方式
规律4 I
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不 在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
以上规律又统称为三角形规律
4.
二元体(片)规则
二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连 接一个新结点的装置。
在一个体系上加减二元体不影响原体系的几何组成
有二元 有 体吗？
例10:对图示体系作几何组成分析
讨论: 体系有无穷远处瞬铰的分析 三杆不平行不变
1). 有一个无穷远铰:
各自等长常变 否则瞬变 四杆不平行不变 平行且各自等长常变 平行不等长瞬变 平行且等长常变 平行不等长瞬变
2). 有两个无穷远铰:
3). 有三个无穷远铰:
分析实例
1 2
3
(1,2) 1
(2,3) 2
W 2 7 14 0
4.混合体系的计算自由度
W (3m 2 j ) (2h b)
5.计算自由度与几何体系构造特点
W 0 W 0 W 0
结构力学第二章
结构⼒学第⼆章第⼆章平⾯体系的机动分析主要讨论平⾯杆件结构的组成规律和合理形式§2-1 ⼏何构造分析的⼏个概念⼀、平⾯杆件结构和平⾯杆件体系[结构（从⼏何）：⼀维杆件（平⾯+空间）、⼆维平⾯（板壳、薄壁）、三维空间（实体）。
狭义研究： ]平⾯杆件结构：两个特点（构筑物、建筑物）简⽀梁（桥）1）所有杆件的轴线在⼀个平⾯内2）承担荷载（作⽤在该平⾯内）、⾻架作⽤：位置、⼏何形状不随时间变（不考虑材料应变）平⾯杆件体系⼏种形式：结合例⼦1）⼏何不变体系：有斜撑的桁架（⽔平、竖向、⼒矩）体系受到任意荷载作⽤后，若不考虑材料的应变，⽽能保持其⼏何形状不变，位置不变。
静定+超静定：多余联系+全部反⼒及内⼒的确定2）⼏何可变体系：四连杆机构（筛⼦）体系受到任意荷载作⽤后，即使不考虑材料的应变，其⼏何形状、位置可变。
⼜有两种形式：⼏何常变体系：原为⼏何可变体系，经微⼩位移后仍能继续发⽣刚体运动的⼏何可变体系，为。
⼏何瞬变体系：原为⼏何可变体系，经微⼩位移即转化为⼏何不变体系，称为，它是可变体系的特殊情况。
如图：施加任意荷载P，变形任意⼩的θ⾓，由结点2的平衡条件：2Nsinθ=P N=P/2sinθ→∞、⽀座反⼒→∞⼏何体系划分：⼏何不变体系⼏何可变体系：⼏何常变体系瞬变体系（从不能平衡到平衡的过程中，会产⽣巨⼤的内⼒或⽀座反⼒，使结构破坏，绝对不能应⽤于⼯程中）引出本章三个主要⽬的：（要解决问题）1）给定⼀个体系：不变、可变、瞬变，判定，只有2）杆件如何拼接成为结构，创造新的合理的结构形式3）最合理的组成⽅式，最优⼏何组成分析：结构应当承受外荷载，起⾻架作⽤，要求结构的⼏何组成应当合理，受载后应保持其⼏何形状和位置不变（排除材料应变引起的变形）。
杆件结构是由许多杆件组成，⽽许多杆件组成的体系并不⼀定是结构。
杆件组成结构应该满⾜⼀定的规则。
⽬的：1）杆件体系能否作为结构2）组成结构的规则，杆件如何组合才能成为结构。
结构力学基础教程第二章
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。 若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
29
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
W2j b
j—结点数；
b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W ( 32 m j )( 32 gh b )
m、j、g、h、b意义同前。
1
A
I
2
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。 II 被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1 1 I
12
A
II 铰A也可以是瞬铰，如右图示。 A I B
II A I
13
1
3. 规律3—— 三个刚片之间的连接
大刚片 I 与结点D用链杆3、4相连，符合规 律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。 1 I 3
2
解： II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
3 B I 1 A 6 III 2 C
结构力学第02章
Ⅱ C
体系1
体系2
在体系1 链杆1上的A点可绕B点沿圆弧Ⅰ运动，链杆2上的A 在体系1中，链杆1上的A点可绕B点沿圆弧Ⅰ运动，链杆2上的A点可 点沿圆弧Ⅱ运动。两个链杆在A点铰结在一起， 绕C点沿圆弧Ⅱ运动。两个链杆在A点铰结在一起，由于两个圆弧在 点相切， 点仍可沿公切线方向作微小的运动。 A点相切，故A点仍可沿公切线方向作微小的运动。当A点沿公切线 发生微小位移后，两根链杆就不再彼此共线， 发生微小位移后，两根链杆就不再彼此共线，因而体系也不再是可 变体系。瞬变体系是可变体系的一种特例。 变体系。瞬变体系是可变体系的一种特例。 在体系2 由于两个圆弧在A点不是相切而是相交，因此A 在体系2中，由于两个圆弧在A点不是相切而是相交，因此A点既不 能沿圆弧Ⅰ运动，也不能沿圆弧Ⅱ运动， 点已被完全固定了。 能沿圆弧Ⅰ运动，也不能沿圆弧Ⅱ运动，A点已被完全固定了。
x
O
1根复链杆连接3个点，体系减少自 根复链杆连接3个点， 由度： 由度：2×3-3=3 根复链杆连接n个点， 1根复链杆连接n个点，体系减少自 由度：2n相当于2n 2n由度：2n-3；相当于2n-3根单链杆
（3）单铰 — 一个铰连接两个刚片
y Ⅰ Ⅱ α x
O
原来体系自由度为： 原来体系自由度为：3×2=6 现在体系自由度为： 现在体系自由度为：4 体系减少自由度为： 体系减少自由度为：2 所以1个单铰相当于2个约束。 所以1个单铰相当于2个约束。 相当于2 相当于2根单链杆
（4）复铰 — 一个铰连接三个及三个以上刚片 1个复铰连接3个刚片，体系减少自 个复铰连接3个刚片， 由度： 由度：3×3-5=4 个复铰连接n个刚片， 1个复铰连接n个刚片，体系减少自 由度： (3+n-1)=2(n-1);相当 由度：3×n-(3+n-1)=2(n-1);相当 个单铰。 于n-1个单铰。
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学(第二章)
1）组装几何不变体系 （1）从基础出发进行组装 把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础和其它构 件组装成一个不变体系。 例2-4： 搭上了5个
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
结构力学第二章[44页]
![结构力学第二章[44页]](https://img.taocdn.com/s3/m/0ec0d788bb4cf7ec4bfed045.png)
2.1 概述 2.2 平面体系的计算自由度 2.3 几何不变体系的简单组成规则 2.4 瞬变体系 2.5 机动分析举例 2.6 几何构造与静定性的关系
1.了解自由度及计算自由度 2.了解不变体系的组成规则 3.掌握瞬变体系含义及内容 4.机动分析的步骤 5.了解构系的几何组成分析
• （2）铰 两个刚片用一个铰连接可减少两 个自由度，那么连接两个刚片的铰称为单铰， 相当于两个联系，如图２.３(b)所示。连接 两个以上刚片的铰称为复铰( n＞２)，相当 于( n-１)个单铰，或２ ×( n -１)个联系，如 图２.３(c)所示。
图 2.3
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
• 在平面体系中又将刚体称为刚片。 • 工程中的结构必须是几何不变体系,才能承受荷载、传递荷载。
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
本节目录
2.2 平面体系的计算自由度 2.2.1 自由度 2.2.2 联系 2.2.3 体系的计算自由度 2.2.4 平面体系的计算自由度结果分析
• 如图２.５所示这种完全由两端铰结的杆件 所组成的体系，称为铰结链杆体系。
图 2.5
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
2.2.3 体系的计算自由度
• 其自由度除可用式(2.1)计算外，还可用下
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
结构力学第二章
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
结构力学二(第二章)
A a
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
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2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
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8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
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2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
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8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
结构力学第二章
④ 若W＜0，无论体系是否几何不变，体系均有多余约束。
§2-4 体系的几何组成与静定性的关系
结构: 必须几何不变
A C 无多余约束
有多余约束
D D E
B
C
A
F
B
一. 无多余约束的几何不变体系是静定结构 静定结构: 由静力平衡方程可求出所 有内力和支座反力的体系。
q
二. 有多余约束的几何不变体系是超静定结构
(1,3) 1
Ⅱ
O
2
B
Ⅰ
I
Ⅰ
O
A1
(1,2)
2
Ⅱ
Ⅲ
C
(2,3)
瞬变体 系能否 作为结 定义：原为几何可变，发生微小位移后又成为几何不变 构
二. 瞬变体系
的体系。
瞬变体系有：三铰共线、三链杆共点、不等长链杆平行
O
B
几何 可变
A C
B
A
C
FAB
A
FAC
B
A
C
P
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin )
A
1
3
2
六、
B
B
A C C A′
常变体系
七、瞬铰（虚铰）
O
.
C D
相交∞远
︷
C
A
A
B
B
D
§2-2 平面几何不变体系的组成规则
讨论无多余约束的几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片（基础）之间的连接方式
一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直
线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
A 1 2 A
1
结构力学第2章ppt
平行，因此，运动可以继续下去。故为可变体系。
A C B
图(c)
图(d)
(4) 当联结三刚片的三个单铰在同一直线上时 此时，C点可以在以AC、BC为半径的两圆弧的公切 线方向上做微小的移动。当发生了一微小的相对移动后， 三单铰就不在同一直线上了，故也为瞬变体系。
例题 例1 如图示铰接链杆体系，做几何组成分析。
又如: 平面一个点具有2个自由度，由两根不平行的链杆 可把该点固定。则该体系（点A）的自由度为0， 且为几何不变体系，如图(c)所示。
y x y x (d)
(c)
如图(d)所示，由于A点可沿两圆弧公切线方向做微小的 运动，它的实际自由度为1，不是0，这种情况后面讨论 (即瞬变体系情况)。 （III）体系实际自由度数计算 设：S为体系的实际自由度数； W为体系的计算自由度数； n为体系的多余约束数； 则：S=W+n (2-5) S永远大于等于零。
§2.1 基本概念
在本章中，主要讨论结构的组成规律及合理形式。首 先介绍两个基本概念 几何不变体系 某一体系在任意荷载的作用下，若不考虑 材料的应变，能够保持其几何形状和位置 不变，则称之为几何不变体系。 几何可变体系 反之，则称之为几何可变体系。
几何不变体系
几何可变体系 (形状可变)
几何可变体系 (位置可变)
（1）恒载 指永久作用于结构上的荷载，如结构自重
荷载
（2）活载
（a）可动荷载 指在结构上能占有任意位置的荷载，
如风、雪等
（b）移动荷载 一系列相互平行、间距保持不变且 能在结构上移动的活载，如桥梁上 的车辆 指暂时作用于结构上的荷载，如桥梁上的车辆， 风、雪等
按照荷载的作用性质划分
（1）静力荷载 指从0开始缓慢增大，结构不会产生冲击或振
结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
B
B
一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
(1)h m3 (3)h
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
结构力学第二章
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
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几何组成分析
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 二. 两刚片规则 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 常变体系 瞬变体系 构成无多余约束的几何不变体系. 构成无多余约束的几何不变体系.
两刚片以不相互平行, 两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系. 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系.
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
有2个多余 约束 3、复链杆 联结n个结点的复链杆个数： 联结n个结点的复链杆个数： b
有3个多余 约束
= 2n − 3
几何组成分析
讨论: 讨论: 1、试计算图示体系的计算自由度 、
解:
或:
W = 8×3−11×2 −3 = −1 W =1×3+ 5×2 − 2×2 −10= −1
由结果不能判定其是否能作为结构
几何组成分析
§2-1 基本概念 §2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则 §2-3 几何组成分析举例 例1: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 三刚片三铰相连,三铰不共线, 的几何不变体系. 的几何不变体系.
几何组成分析
§2-3 几何组成分析举例 例2: 对图示体系作几何组成分析
几何组成分析
W = 3m − (3 g + 2h + b)
m刚片的个数；g 刚结点个数； 刚片的个数； 刚结点个数； h单铰结个数；b单链杆个数 结点个数。
1、刚结
几何组成分析
复刚结： 复刚结： 相当于n 相当于n－1 个单结合
2、封闭框 有1个多余 约束
几何组成分析
W = 结点数 × 2 − 链杆数 W = 刚片数 × 3 − 单铰数 × 2 − 链杆数
计算自由度大于零一定可变; 计算自由度大于零一定可变; 若等于零则一定不变吗? 若等于零则一定不变吗? 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束 计算自由度小于零一定不变吗? 计算自由度小于零一定不变吗? 计算自由度小于零一定有多余约束
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系. 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
W = 2×3− 6 = 0
几何组成分析
W = 结点数 × 2 − 链杆数 W = 刚片数 × 3 − 单铰数 × 2 − 链杆数
计算自由度大于零一定可变; 计算自由度大于零一定可变; 若等于零则一定不变吗? 若等于零则一定不变吗? 五. 计算自由度
W = 2×3− 6 = 0
W = 6×3−9×8 = 0 W = 3×3−3×2 −3 = 0
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束几何不变体系. 该体系为无多余约束几何不变体系. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
几何组成作业题
2-2 b c 2-3 2-4 2-9 2-10 交作业时间: 交作业时间:下周一
几何组成分析
§2-1 基本概念 §2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则 §2-3 几何组成分析举例 §2-4 平面杆件体系的计算自由度 平面杆件体系的计算自由度
自由度S 各对象自由度的总和a 非多余约束数c 自由度S＝各对象自由度的总和a－非多余约束数c 计算自由度W 各对象自由度的总和a 全部约束总数d 计算自由度W＝各对象自由度的总和a－全部约束总数d 多余约束n 多余约束n＝d－c n＝S－W
几何组成分析
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
点 刚 的 片 几何不变体系的自由度一定等于零 自 自 由 几何可变体系的自由度一定大于零 由 度 度
几何组成分析
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数 约束(联系) 四. 约束(联系) 能减少自由度的装置 1. 链杆 2. 单铰
例5: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为常变体系. 该体系为常变体系. 方法4: 去掉二元体. 方法4: 去掉二元体.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法4: 去掉二元体.
练习: 练习: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
几何组成分析
讨论: 讨论: 2、 试计算图示体系的计算自由度 解:
或:
W =16×2 −31=1 W = 28×3− 40×2 − 3 =1
由结果可判定其不能作为结构
几何组成分析
讨论: 讨论: 3、试分析图示体系的几何组成 从上到下依次去掉二元 体或从基础开始依次加二 元体. 元体 几何不变无多余约束
几何组成分析
§2-1 基本概念 3. 链杆与单铰的关系
4. 虚铰
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数 约束(联系) 四. 约束(联系) 能减少自由度的装置 1. 链杆 2. 单铰
几何组成分析
3. 链杆与单铰的关系 4. 虚铰 5. 复铰 连接N个刚片的复铰相当于N 连接N个刚片的复铰相当于N-1个单铰
几何组成分析
讨论: 讨论: 4、试分析图示体系的几何组成 依次去掉二元体. 依次去掉二元体 几何常变体系
解:该体系为无多余约束的几何不变体系. 该体系为无多余约束的几何不变体系. 方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分
例3: 对图示体系作几何组成分析
几何组成分析
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 三. 自由度 四. 约束(联系) 链杆 单铰 复铰 虚铰 实铰 约束(联系) 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束
几何组成分析
§2-1 基本概念 §2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两两相联, 三刚片以不在一条直线上的三铰两两相联,构 成无多余约束的几何不变体系. 成无多余约束的几何不变体系.
解: 该体系为无多余约束的几何不变体系. 该体系为无多余约束的几何不变体系. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
瞬变体系
P N = 2 Sin α
几何组成分析
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 二. 两刚片规则 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 构成无多余约束的几何不变体系. 构成无多余约束的几何不变体系.
两刚片以不相互平行, 两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系. 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系.
1. 链杆
2. 单铰
几何组成分析
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数 四. 约束(联系) 能减少自由度的装置 约束(联系) 五. 计算自由度（一） 计算自由度（