最新固体物理倒格矢

b2，-b2．
-b1＋b2
－b1-b2
b1＋b2 b1-b2
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1 －２b２
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格
a. 简立方晶格 倒易空间示意图
aaa321
ai aj ak
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系：
正点阵中一族晶面，晶面指数为：（ h1h2h3）
倒易点阵中倒格矢：
Gh
h1b1 h2b2
h3b3
则有：
GGhh
// (h1h2h3
＝ 2
d h1h2h3
)
法线方向
Cn
1 V
Γ
(
r
)e
iGn
r
dr
(Gn
)
(Gn
)是Γ (r)的 傅 里 叶 变 换
Γ
(r
n
)＝
(Gn
)eiGn
r
Γ
(r
)是
(Gn
)的傅里叶逆变换
n
傅 里 叶 变 换 ： F () f (t)eit dt -
傅 里 叶 逆 变 换 ：f (t) 1 F()eit d 2 -
2
T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构
显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
倒易点阵 虚构
衍射图像 一族晶面 线度量纲：L－1 倒易空间 傅里叶空间
K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区
(1) 一维晶格
a1 ai
b1
2
a
i
(2) 二维晶格
a1、a2
b1 2
b2 2
构
造a3，
2
(S
S0 )
有 Rl• Gh = 2π u
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
(b1，b2，b3)如何确定？
令a3＝k
a1
a2a2
a3 a3
a1
a3a2
a1 a3
a1
ai
a2 aj
b1
b2
2 2
a1
a2a2
a3 a3
a1
a3a2
a1 a3
2
a
2
a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
离原点次近的倒
格点有４个：
b1＋b2 ，b1-b2 ，
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
点阵：原胞基 矢a1、a2、a3
b1 2
b2 2
b3
2
a2 a3 V a3 a1 ， V V a1 a2
V
a1 (a2 a3 )
原胞体积
ab11、、
ab22、、
ab33：：
原胞基矢 倒易点阵 原胞基矢 正点阵
a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) h1 Gh
2
Gh
返回
3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ若(则r )有有rΓr＝(rrx)1a1RΓl，(xr2R)al2
x3a3
x1、x2、x3
l1a1 l2a2 l3a3
(示意图)
R l1、l2、l3
Z
Γ (r)为周期函数
将Γ (r)作傅里叶级数展开，有：
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn r n
n
iGn r
n
n1 n2 n3
n
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn r n
n
iGn r
n
n1 n2 n3
n
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3，n1、n2、n3 Z
V
b1
b2
b3
a1 (a2
2 a2 a3
V
2 a3 a1
V
2 a1 a2
a3
)
V 原胞体积
12：：bb11的方2d向1 沿a2、d1是a3构a2、成a的3构晶成面的的晶法面线族方的向面间距
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
wk.baidu.com
2 ij
2，i
0，i
j j
b1 b2 b3
2 2 2
a2 a3 V a3 a1 V a1 a2
V
正(2)点两阵个：点阵正格格矢矢之Rl间的l1a关1 系l2：a2
l3a3
l1、l2、l3 Z
倒易点阵：倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1、h2、h3 Z
则有：
Rl Gh＝2 Z
k)
k)
j)
b 4π a
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞
射后光程差为： A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl•(S-S0)=u •λ
令
，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u
根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
Gh k -k0
b1
b2
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2 b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
a1
a 2
(
a2 a3
a
2 a
2
i j k) (i j k) (i j k)
b1
b2
b3
2π
a 2π
a 2π
a
(j (i (i
1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
B AO
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢
a1，a2，a3构成的矢量，
S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍
证明如下：
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵
(6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
CA＝OA OC a1 a3
h1 h3
CB＝OB OC a2 a3
h2 h3
CA
G h
0
Gh
CA
CB Gh 0 Gh CB
d h1h2 h3＝ah11
Gh Gh