高中数学三角函数之辅助角公式练习题

20200628手动选题组卷3

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 函数y =5sin (x −π

6)−12cos (x −π

6)的最大值是( )

A. 13

B. 17

C. −13

D. 12

2. 已知函数f(x)=4sin(ωx −π

4)sin(ωx +π

4)(ω>0)的最小正周期与函数y =

2sin2x +cos2x 的最小正周期相同，且tanα=3

4，α∈(0,π

2)，则f(α)等于( )

A. 7

25

B. −14

25

C. 24

25

D. −12

25

3. 设函数f(x)=sin(2x +

3π4

)−cos(2x +3π4

)，则( )

A. f(x)在(0,π

2)单调递增，其图象关于直线x =π

4对称 B. f(x)在(0,π

2)单调递增，其图象关于直线x =π

2对称 C. f(x)在(0,π

2)单调递减，其图象关于直线x =π

2对称 D. f(x)在(0,π

2)单调递减，其图象关于直线x =π

4对称

4. 设当x =θ时，函数f(x)=2sinx −cosx 取得最大值，则cosθ=( )

A. 2√55

B. √55

C. −2√55

D. −√55

5. 将偶函数f(x)=√3sin(2x +φ)−cos(2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移π

6个单

位，得到y =g(x)的图象，则g(x)的一个单调递减区间为( )

A. (−π3,π

6)

B. (π12,7π

12) C. (π6,2π

3) D. (π3,5π

6) 6. 已知√3sin x +cos x =2a −3，则a 的取值范围是 ( )

A. 1

2≤a ≤5

2 B. a ≤1

2

C. a >5

2 D. −5

2≤a ≤−1

2 7. 函数f (x )=2sinxcosx +2cos 2x 的最小正周期是( )

A. 3π

B. 2π

C. π

D. π2

8. 若函数f(x)=cosx +√3sinx(0≤x <π

2)，则f (x )的最小值是( )

A. 1

B. −1

C. 2

D. −2

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9. 已知函数f(x)=3sin x

2−4cos x

2的图象关于直线x =θ对称，则sinθ=________．

10.函数f(x)=sinx+√3cosx，则f(x)的最小正周期为__________．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

11.已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)−1

2

．

(1)若0<α<π

2，且sinα=√2

2

，求f(α)的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

12.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x0)=√2

3,x0∈(0,π

2

)，求cos2x0的值．

13.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x−1．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间[−π

4,π

4

]上的最大值和最小值．

14.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+√3cos2x．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间[−π

3,π

3

]上的最大值及取得最大值时相应的x值．

15.已知函数f(x)=2√3cosxsinx+2cos2x+2．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;

]上的最大值和最小值．

(2)求函数f(x)在[0,π

2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，考查辅助角公式，属于基础题． 由辅助角公式化简函数，即可得． 【解答】

解：∵y =5sin (x −π

6)−12cos (x −π

6)，

为辅助角)，

则当x −π

6 −φ=2kπ+ π

 2，k 为整数，y 取最大值13， 故选A ． 2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角函数的性质，辅助角公式，同角三角函数的关系，二倍角公式，属于中档题．

先求出y =2sin2x +cos2x 的最小正周期，进而求出ω，化简f(x)，再根据二倍角公式以及同角三角函数关系求出答案． 【解答】

解：y =2sin2x +cos2x =√5sin(2x +θ)(其中tanθ=1

2)，其最小正周期为，

且

，

由题意得f(x)的最小正周期为，所以，解得ω=1，

所以f(x)=−2cos2x ，

又{tanα=sinα

cosα=

3

4sin 2α+cos 2α=1

，结合α∈(0,π2)，解得cosα=45，

所以f(α)=−2cos2α=−2(2cos 2α−1)=−2×[2×(45)2−1]=−14

25． 故选B ． 3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角函数的化简，三角函数的图象和性质，属于基础题．

利用辅助角公式化简函数解析式，判断y =f(x)在(0,π

2)单调性，即可得到答案． 【解答】