极限存在准则两个重要极限公式

1
lim1 ( x) ( x) = e
xa
2020年9月1日星期二
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练习
1
1. 求极限 lim 3x 9x x x
解
1
lim 3x 9x
x
1
x = lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
1
=
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
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(2) lim(1 1)n = e
n
n
证明: 记
(e = 2.71828 )
利用二项展开式,有
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故
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1
推广: lim(1 x) x = e x0
lim n
xn
存在.
xn1 =
3 xn ,
x2 n1
=
3
xn ,
lim
n
x2 n1
=
lim(3
n
xn ),
A2 = 3 A,
解得 A = 1 13 , A = 1 13
2
2
lim n
xn
=
1 2
13
.
(舍去)
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二、两个重要极限
2. 函数极限存在的夹逼准则
准则 Ⅰ′ : 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x > X > 0)
lim g(x) = lim h(x) = A
x x0
x x0
(x )
(x )
lim f (x) = A
x x0 (x )
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ′称为夹逼准则.
x
x
解
原式 = lim[(1 1 ) x ]1 = lim
x
x
x
(1
1 1
) x
= 1.
x
e
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例6
求
lim x
x x
1 1
x
解一
原式
= =
lim (1
x
e2
x
2
x1 2
) 1
2
(1
x
2
) 1
解二
(1 1 )x
D
(1) lim sin x = 1
x0 x
设单位圆 O, 圆心角AOB =
x,
(0
xp)
2
作单位圆的切线 ，得 DAOD .
B
x
oC A
扇形 AOB 的圆心角为x , DAOB 的高为 BC ,
于是有 sin x = BC , x = 弧 AB, tan x = AD,
DOAB 的面积 < 扇形AOB的面积< D AOD的面积
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
即 cos x sin x 1, x
上式对于 p x 0也成立. 2
当 0 x p 时,
2
0 cos x 1 = 1 cos x = 2sin2 x 2( x )2 = x 2 , 22 2
lim x2 = 0, lim(1 cos x) = 0,
x
2
=
1 2
sin lim( x0 x
2
)2
=
1 2
12
2
= 1. 2
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例4. 求
解: 令 t = arcsin x, 则 x = sin t , 因此
原式 = lim t t0 sin t
sin t = 1
t
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令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
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例5 求 lim(1 1 )x .
5
3.单调有界准则
如果数列 x1 x2 L
xn满足条件 xn xn1
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L,
单调增加
单调数列
x1 x2 L xn xn1 L, 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
准则 Ⅱ’ 设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调且有界
则f(x)在x0的左极限f(x0-)必存在.
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
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三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
20
lim(1
x
1)x x
=
e.
或
1
lim(1 t)t
t 0
=
e.
x0 2
x0
lim cos x = 1, 又lim1 = 1, lim sin x = 1.
x0
x0
x0 x
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例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x0
2 x2
=
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
n n
n n
那末数列x 的极限存在, n
且lim n
xn
= a.
证 yn a, zn a,
" e > 0, $N1 > 0, N2 > 0, 使得
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当n
>
N
时恒有
1
yn
a
e,
当n
>
N
时恒有
2
zn
a
e,
取 N = max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
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作业
P31 1(1),(4); 3(2).
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即 a e yn a e, a e zn a e,
当 n > N时, 恒有 a e yn xn zn a e ,
即 xn a e 成立,
lim n
xn
=
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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注意:利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
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例1 求 lim( 1 1 L 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 L 1 n ,
n2 n n2 1
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例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
=
9
e0
=
9
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B 2.下列等式正确的是（ ）
sin x A. lim = 1;
x x
1
C. lim x sin = 1;
x0
x
1
B. lim x sin = 1;
x
x
sin 1
D. lim x = 1
x x
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极限存在准则及 两个重要极限
一、极限存在准则 二、 两个重要极限
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一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列x , y 及z 满足下列条件:
(1) y x z
n
(n
n
=
1,2,n3L)
n
n
n
(2) lim y = a, lim z = a,