江苏省苏州市2017-2018学年七年级(下)期末数学试卷(含解析)

江苏省苏州市2017-2018学年第二学期期末考试七年级数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1.若三角形的两条边的长度是4 cm 和10 cm ，则第三条边的长度可能是 ( )
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 9 cm
D. 14 cm
2.下列计算正确的是 ( )
A ．a ＋2a 2＝3a 2
B ．a 8÷a 2＝a 4
C ．a 3·a 2＝a 6
D ．(a 3)2＝a 6
3.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是
( ) A ．x 2＋5x －1＝x (x ＋5)－1
B ．x 2－4＋3x ＝(x ＋2)(x －2)＋3x
C ．x 2－9＝(x ＋3)(x －3)
D ．(x ＋2)(x －2)＝x 2－4
4. 已知21
x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程21x my +=的一个解，则m 的值为（ ）
A ．3
B ．－5
C ．－3
D ．5
5．如图，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ，∠B =∠DEF ，补充下哪一条件后，能应用“SAS ”
判定△ABC ≌△DEF ( )
A ．AC =DF
B ．BE=CF
C ．∠A =∠
D D ．∠ACB =∠DFE
6. 如图，直线AB ∥CD ， 50=∠B ， 40=∠C ，则E ∠的度数是（ ）
A ． 70
B ． 80
C ． 90
D ． 100
7. 下列命题：①同旁内角互补；②若a ＝b ，则b a =；③同角的余角相等； ④三角形的
一个外角等于两个内角的和.其中是真命题的个数是
( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
8．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记
1123(1)n k k n n ==+++⋅⋅⋅+-+∑，3()(3)(4)()n
k x k x x x n =+=++++⋅⋅⋅++∑;
已知[]m x x
k x k x n k ++=+-+∑=22)1)((22，则m 的值是 ( )
A ．40-
B ．8-
C ．24
D ．8
二、填空题：（每题2题，共16分）
9.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为 ．
10.若9,4==n n y x ，则=n
xy )( .
11.若关于x 的多项式92++ax x 是完全平方式，则=a . 12.内角和等于外角和2倍的多边形是 边形．
13.若7=+b a ，12=ab ，则=+-223b ab a .
14.如图，在ABC ∆中， 50=∠A ，若剪去A ∠得到四边形BCDE ，则12______∠+∠=
15.如图，ABC ∆的中线BE AD 、相交于点F .若ABF ∆的面积是4，则四边形CEFD 的面
积是 .
16. 如图，在长方形ABCD 中，8==BC AD ，10=BD ，点E 从点D 出发，以每秒2
个单位的速度沿DA 向点A 匀速移动，点F 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向
点B 作匀速移动，点G 从点B 出发沿BD 向点D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点
到达终点时，其余两点也随之停止运动，当=t _______时，DEG ∆和BFG ∆全等．
三、解答题：
17. 计算: （每题3分，共6分）
(1)20170111(3)()2
π--+-+ (2) 32423)2(a a a a ÷+⋅-）（
18.将下列各式分解因式：（每题3分，共9分）
（1）x xy x 3962
+- （2）50182-a （3）22241a a -+）（
19.（3分）解方程组⎩⎨
⎧=-=+13242y x y x
20.（5分）先化简再求值：
2
22)2)(2(3a a a a --+++）（，其中1-=a .
21．（8分）在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的C B A '''∆；
（2）画出AB 边上的中线CD ；
（3）画出BC 边上的高线AE ；
（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC 扫
过区域的面积为 ．
22. （7分）若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨
⎧=+-=+2
2132y x a y x ， (1)若1=+y x ，求a 的值为 .
(2)若33≤-≤-y x ，求a 的取值范围. (3)在(2)的条件下化简2-+a a . 计算题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用．
23.（6分）如图，已知BE CD ⊥，BE DE =，BC AD =，
求证：（1）BEC DEA ∆≅∆；（2）DF BC ⊥.
24. （6分）如图，Rt ABC ∆中，
90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AB
于E ，AB EF ⊥交CB 于F ．
（1）求证：CD ∥EF ；
（2）若 70=∠A ，求FEC ∠的度数．
25. （8分）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学八（1）班学生去商场购买了A 品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出来．
26．（10分）已知：Rt ABC ∆中，
90=∠BAC ，AC AB =，点D 是BC 的中点，点P 是BC 边上的一个动点，
（1）如图①，若点P 与点D 重合，连接AP ，则AP 与BC 的位置关系是 ；
（2）如图②，若点P 在线段BD 上，过点B 作AP BE ⊥于点E ，过点C 作AP CF ⊥于
点F ，则CF ，BE 和EF 这三条线段之间的数量关系
是 ；
图① 图②
（3）如图③，在（2）的条件下若BE 的延长线交直线AD 于点M ，找出图中与CP 相等
的线段，并加以证明.
（4）如图④，已知4=BC ，2=AD ，若点P 从点B 出发沿着BC 向点C 运动，过点B 作
AP BE ⊥于点E ，过点C 作AP CF ⊥于点F ,设线段BE 的长度为1,d 线段CF 的长
度为2,d 试求出点P 在运动的过程中21d d +的最大值.
图③ 图④
江苏省苏州市2017-2018学年第二学期期末考试七年级数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1.若三角形的两条边的长度是4 cm和10 cm，则第三条边的长度可能是( )
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 9 cm
D. 14 cm
【专题】几何图形．
【分析】据三角形三边关系定理，设第三边长为xcm，则10-4＜x＜10+4，即6
＜x＜14，由此选择符合条件的线段．
【解答】解：设第三边长为xcm，
由三角形三边关系定理可知，
6＜x＜14，
∴x=9cm符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系的运用．已知三角形的两边，则第三边的范
围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
2.下列计算正确的是( )
A．a＋2a2＝3a2B．a8÷a2＝a4C．a3·a2＝a6D．(a3)2＝a6
计算题．
【分析】A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；
C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；
D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．
【解答】解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；
B、a8÷a2=a6，故本选项错误；
C、a3•a2=a5，故本选项错误；
D、（a3）2=a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，以及积的乘方法则的运用，是
一道基础题．
3.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1 B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x
C．x2－9＝(x＋3)(x－3) D．(x＋2)(x－2)＝x2－4
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变
形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【解答】解：A 、右边不是积的形式，故A 错误；
B 、右边不是积的形式，故B 错误；
C 、x 2-9=（x +3）（x -3），故C 正确．
D 、是整式的乘法，不是因式分解．
故选：C ．
【点评】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
4. 已知21x y =⎧⎨=-⎩
是二元一次方程21x my +=的一个解，则m 的值为（ ） A ．3 B ．－5 C ．－3 D ．5
解得m =3．
故选：A ．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
5．如图，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ，∠B =∠DEF ，补充下哪一条件后，能应用“SAS ”判定△ABC ≌△DEF ( )
A ．AC =DF
B ．BE=CF
C ．∠A =∠
D D ．∠ACB =∠DFE
【专题】几何图形． 【分析】应用（SAS ）从∠B 的两边是AB 、BC ，∠E 的两边是DE 、EF 分析，找到需要相等的两边．
【解答】解：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）．∠B 的两边是AB 、BC ，∠E 的两边是DE 、EF ，而BC =BE +EC 、EF =EC +CF ，要使BC =EF ，则BE =CF ．
故选：B ．
【点评】本题考查了三角形全等的条件，判定三角形全等一定要结合图形上的位置关系，从而选择方法．
6. 如图，直线AB ∥CD ， 50=∠B ，
40=∠C ，则E ∠的度数是（ ）
A ． 70
B ． 80
C ． 90
D ．
100
【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B =50°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AB ∥CD ，
∴∠1=∠B =50°，
∵∠C =40°，
∴∠E =180°-∠B -∠1=90°，
故选：C ．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
7. 下列命题：①同旁内角互补；②若a ＝b ，则b a =；③同角的余角相等； ④三角形的一个外角等于两个内角的和.其中是真命题的个数是
( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【专题】几何图形．
【分析】根据平行线的性质，绝对值、余角、三角形外角的性质判断即可．
【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，是假命题；
②若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ，是假命题；
③同角的余角相等，是真命题；
④三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是假命题；
故选：D ．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记1123(1)n k k n n ==+++⋅⋅⋅+-+∑，3()(3)(4)()n
k x k x x x n =+=++++⋅⋅⋅++∑;
已知[]m x x
k x k x n k ++=+-+∑=22)1)((22，则m 的值是 ( )
A ．40-
B ．8-
C ．24
D ．8
【专题】计算题；整式．
【分析】利用题中的新定义化简已知等式左边，确定出m 的值即可．
【解答】解：根据题意得：（x +2）（x -1）+（x +3）（x -2）=2x 2+2x -8=2x 2+2x +m ，
则m =-8，
故选：B ．
【点评】此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、填空题：（每题2题，共16分）
9.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示
为 ．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
【解答】解：0.0000065=6.5×10-6．
故答案为：6.5×10-6．
【点评】本题考查了科学记数法-表示较小的数，关键是用a ×10n （1≤a ＜10，n
为负整数）表示较小的数．
10.若9,4==n n y x ，则=n
xy )( .
【分析】先根据积的乘方变形，再根据幂的乘方变形，最后代入求出即可．
【解答】解：：∵x n =4，y n =9，
∴（xy ）n
=x n •y n
=4×9
=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，用了整体代入思想．
11.若关于x 的多项式92++ax x 是完全平方式，则=a . 【专题】计算题；整式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a 的值．
【解答】解：∵关于x 的多项式x 2+ax +9是完全平方式，
∴a =±6，
故答案为：±6
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.内角和等于外角和2倍的多边形是 边形．
【分析】设多边形有n 条边，则内角和为180°（n -2），再根据内角和等于外角
和2倍可得方程180（n -2）=360×2，再解方程即可．
【解答】解：设多边形有n 条边，由题意得：
180（n -2）=360×2，
解得：n =6，
故答案为：六．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°
（n -2）．
13.若7=+b a ，12=ab ，则=+-223b ab a .
【专题】常规题型．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
【解答】解：∵a +b =7，ab =12，
∴（a +b ）2=49，
则a 2+2ab +b 2=49，
故a 2+b 2=49-2×12=25，
则a 2-3ab +b 2=25-3×12=-11．
故答案为：-11．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆完全平方公式：（a ±b ）
2=a 2±2ab +b 2是解题关键．
14.如图，在ABC ∆中， 50=∠A ，若剪去A ∠得到四边形BCDE ，则12______∠+∠=
【专题】多边形与平行四边形．
【分析】根据三角形内角和为180度可得∠B +∠C 的度数，然后再根据四边形内
角和为360°可得∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC 中，∠A =50°，
∴∠B +∠C =180°-50°=130°，
∵∠B +∠C +∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
故答案为：230°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180°．
15.如图，ABC ∆的中线BE AD 、相交于点F .若ABF ∆的面积是4，则四边形CEFD 的面
积是 .
【专题】推理填空题．
【分析】根据三角形的重心的性质得到BF =2FE ，AF =2FD ，根据三角形的面积
公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC 的中线AD ，BE 相交于点F ，
∴点F 是△ABC 的重心，
∴BF =2FE ，AF =2FD ，
∵△ABF 的面积是4，
∴△AEF 的面积是2，△DBF 的面积是2，
∴△ABD 的面积是6，
∴△ABC 的面积是12，
∴四边形CEFD 的面积=12-4-2-2=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交
点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
16. 如图，在长方形ABCD 中，8==BC AD ，10=BD ，点E 从点D 出发，以每秒2
个单位的速度沿DA 向点A 匀速移动，点F 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向
点B 作匀速移动，点G 从点B 出发沿BD 向点D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点
到达终点时，其余两点也随之停止运动，当=t _______时，DEG ∆和BFG ∆全等．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ADB =∠DBC ，
有两种情形：①DE =BF ，BG =DG ，
∴2t =8-t ，
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题：
17. 计算: （每题3分，共6分）
(1)20170111(3)()2
π--+-+ (2) 32423)2(a a a a ÷+⋅-）（ 【专题】计算题；整式．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即
可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘除单项式法则计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=-1+1+2=2；
（2）原式=-a 5+4a 5=3a 5．
【点评】此题考查了整式的除法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
18.将下列各式分解因式：（每题3分，共9分）
（1）x xy x 3962
+- （2）50182-a （3）22241a a -+）（ 【专题】计算题．
【分析】（1）通过提取公因式3x 进行因式分解；
（2）先提公因式2，然后利用平方差公式进行因式分解；
（3）利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式=3x （2x -3y +1）；
（2）原式=2（3a +5）（3a -5）；
（3）原式=（a +1）2（a -1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多
项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考
虑运用公式法分解．
19.（3分）解方程组⎩⎨⎧=-=+1
3242y x y x
【专题】计算题． 【分析】解此题运用的是代入消元法．
【解答】解：由方程②得x =4-2y ，
代入到方程①中得：2（4-2y ）-3y =1，
解得y =1，x =2，
【点评】此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题
目的训练达到对知识的强化和运用．
20.（5分）先化简再求值：
2
22)2)(2(3a a a a --+++）（，其中1-=a . 【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，
把x 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x 2+6x +9+x 2-4-2x 2=6x +5，
当x =-1时，原式=-1×6+5=-1．
【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
21．（8分）在图中，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的C B A '''∆；
（2）画出AB 边上的中线CD ；
（3）画出BC 边上的高线AE ；
（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC 扫
过区域的面积为 ．
【专题】常规题型．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用中线的定义得出答案；
（3）直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；
（4）利用平移的性质结合平行四边形的面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；
（2）如图所示：线段CD 即为所求；
（3）如图所示：高线AE 即为所求；
（4）在平移的过程中线段BC 扫过区域的面积为：4×7=28．
故答案为：28．
【点评】此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出对应点位置是解题关
键．
22. （7分）若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨
⎧=+-=+2
2132y x a y x ， (1)若1=+y x ，求a 的值为 .
(2)若33≤-≤-y x ，求a 的取值范围. (3)在(2)的条件下化简2-+a a .
计算题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】
（2）两方程相减可得x -y =3a -3，根据-3≤x -y ≤3可得关于a 的不等式组，解之可
得；
（3）根据绝对值性质去绝对值符号、合并同类项即可得．
【解答】
（2）①-②，得：x -y =3a -3，
∵-3≤x -y ≤3，
∴-3≤3a -3≤3，
解得：0≤a ≤2；
（3）∵0≤a ≤2，
∴a -2≤0，
则原式=a +2-a =2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意
得出关于a 的不等式是解题的关键．
23.（6分）如图，已知BE CD ⊥，BE DE =，BC AD =，
求证：（1）BEC DEA ∆≅∆；（2）DF BC ⊥.
【专题】图形的全等．
【分析】（1）根据已知利用HL 即可判定△BEC ≌△DEA ；
（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B =∠D ，从而
不难求得DF ⊥BC ．
【解答】证明：（1）∵BE ⊥CD ，
∴∠BEC =∠DEA =90°，
又∵BE =DE ，BC =DA ，
∴△BEC ≌△DEA （HL ）；
（2）∵△BEC ≌△DEA ，
∴∠B =∠D ．
∵∠D +∠DAE =90°，∠DAE =∠BAF ，
∴∠BAF +∠B =90°．
即DF ⊥BC ．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要
注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．
24. （6分）如图，Rt ABC ∆中，
90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AB
于E ，AB EF ⊥交CB 于F ．
（1）求证：CD ∥EF ；
（2）若 70=∠A ，求FEC ∠的度数．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；
（2）根据直角三角形的性质求出∠ACD ，根据角平分线的定义求出∠ACE ，结
合图形求出∠DCE ，根据平行线的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，
∴CD ∥EF ；
（2）解：∵CD ⊥AB ，
∴∠ACD =90°-70°=20°，
∵∠ACB =90°，CE 平分∠ACB ，
∴∠ACE =45°，
∴∠DCE =45°-20°=25°，
∵CD ∥EF ，
∴∠FEC =∠DCE =25°．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平
行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
25. （8分）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学八（1）班学生去商场购买了A
品牌足球1个、B 品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了品牌A 足球3个、
B 品牌足球1个，共花费230元．
（1）求购买一个A 种品牌、一个B 种品牌的足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A 、B 两
种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出
来． 【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）设购买一个A 品牌足球需要x 元，一个B 品牌足球需要y 元，根
据“购买A 品牌足球1个、B 品牌足球2个，共花费210元；购买品牌A 足球3
个、B 品牌足球1个，共花费230元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购买A 品牌足球m 个，购买B 品牌足球n 个，根据总价=单价×数量，即
可得出关于m 、n 的二元一次方程，再结合m 、n 均为非负整数，即可得出各购
买方案．
【解答】解：（1）设购买一个A 品牌足球需要x 元，一个B 品牌足球需要y 元，
答：学校有4种购买足
球的方案，方案一：购买A 品牌足球30个、B 品牌足球0个；方案二：购买A
品牌足球22个、B 品牌足球5个；方案三：购买A 品牌足球14个、B 品牌足球
10个；方案四：购买A 品牌足球6个、B 品牌足球15个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正
确列出二元一次方程．
26．（10分）已知：Rt ABC ∆中，
90=∠BAC ，AC AB =，点D 是BC 的中点，点P 是BC 边上的一个动点，
（1）如图①，若点P 与点D 重合，连接AP ，则AP 与BC 的位置关系是 ；
（2）如图②，若点P 在线段BD 上，过点B 作AP BE ⊥于点E ，过点C 作AP CF ⊥于
点F ，则CF ，BE 和EF 这三条线段之间的数量关系是 ；
图① 图②
（3）如图③，在（2）的条件下若BE 的延长线交直线AD 于点M ，找出图中与CP 相等
的线段，并加以证明.
（4）如图④，已知4=BC ，2=AD ，若点P 从点B 出发沿着BC 向点C 运动，过点B 作
AP BE ⊥于点E ，过点C 作AP CF ⊥于点F ,设线段BE 的长度为1,d 线段CF 的长
度为2,d 试求出点P 在运动的过程中21d d +的最大值.
图③ 图④
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一解答；
（2）证明△ABE ≌△CAF ，根据全等三角形的性质得到BE =AF ，AE =CF ，结合
图形证明；
（3）证明△CFP ≌△AEM ，根据全等三角形的性质证明；
【解答】解：（1）AP 与BC 的位置关系是AP ⊥BC ，
理由如下：∵AB =AC ，点D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
当点P 与点D 重合时，AP ⊥BC ，
故答案为：AP⊥BC；
（2）CF=BE+EF，
理由如下：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠BAE+∠CAP=90°，∠ACF+∠CAP=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF，
∴BE=AF，AE=CF，
∴CF=AE+AF+EF=BE+EF，
故答案为：CF=BE+EF；
（3）CP=AM，
证明：∵∠BAE=∠ACF，
∴∠EAM=∠FCP，
在△CFP和△AEM中，
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．。