311空间向量及其加减运算

探究点一 “杨辉三角”的性质
问题 1 观察(a＋b)n 展开式的二项式系数
本
课
(a＋b)1……
11
时 栏
(a＋b)2……
121
目 开
(a＋b)3……
1331
关
(a＋b)4……
14641
(a＋b)5……
1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…… 1 6 15 20 15 6 1
……………………………… 找一些这些数的规律．
本 答 利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质， 当二项
课 时
式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．
栏
目
开
关
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例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭
头所示的数组成一个锯齿形的数列：
1,2,3,3,6,4,10 ，…，记这个数列的前 n 项和为 Sn，
本
课 时
答 对称性，因为 Cmn ＝Cnn－m，也可以从 f(r)＝Crn的图象得到．
栏
目
开
关
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问题 2 计算CCkn－kn 1，并说明你得到的结论．
本
答
CCkn－kn 1＝n－
k＋1 k.
课 时 栏
当 k<n＋2 1时，CCkn－kn1>1，说明二项式系数逐渐增大；
目
开 关
关 (C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)
＝?2＋120?×9＋C312＝274. 小结 利用杨辉三角和二项式系数的关系，将问题转化，利用
组合数的性质求解问题．
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跟踪训练 1 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两
个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，
第________行会出现三个相邻的数，其比为 3∶4∶5.
本
课 第0行
1
时
栏 第1行
11
目
开 第2行
121
关
第3行
1331
第4行
14641
第5行
1 5 10 10 5 1
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解析 根据题意，设所求的行数为 n，则存在正整数 k，
使得连续三项 Ckn－1，Ckn，Ckn＋1，有CCkn－nk 1＝34且CCkn＋kn 1＝45.
同理 k>n＋2 1，二项式系数逐渐减小．
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问题 3 二项式系数何时取得最大值？
答 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，
本
课 中间的两项
，
相等，且同时取得最大值．
时
栏
目
开
关
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例 2 在(3x－2y)20 的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
解之得 r＝5，即第 2×5－1＝9 项系数最大．
T9＝C820·312·28x12y8.
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小结 可根据已知条件确定 n 的值；展开式中二项式系数在中 间一项或中间两项取得最大值，要注意二项式系数和系数的
求 S19.
本 课
解 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C32，第
时 栏
4 项是 C13，…，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211.
目 开
∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
本
课 解 (1)二项式系数最大的项是第 11 项．
时
栏 目
T11 ＝C1200·310 ·(－2)10 x10y10 ＝C1200·610x10y10 .
开 关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设系数绝对值最大的项是第 r＋1 项，于是
??Cr20·320－r·2r≥Cr2＋0 1·319－r·2r＋1
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习要求】
本 1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的
课 时
各项的二项式系数．
栏 目
2．理解二项式系数的性质并灵活运用．
开 关
【学法指导】
从联系的观点讨论二项式系数的性质，与杨辉三角结合， 同
时，二项式系数组成的数列是一个函数，可以从函数的角度，
最大 开式中间一项
的二项式系数 最大；当
值 n 是奇数时，展开式中间两项
与
的二项式系数
，
相等且最大．
填一填·知识要点、记下疑难点
本
各二项式 ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
课 时
系数的和 ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋
栏
Cn5＋…＝ 2n－1 .
目
开
关
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本 (r∈N*)，
课 时 栏 目
于是???
??
C22r0－2·322－2r·22r－2≥C22r0－4·324－2r·22r C220r－2·322－2r·22r－2≥C22r0·320－2r·22r
－4
，
开 关
化简得???10r ??10r
2＋143r 2＋163r
－1 077≤0 －924≥0
，
本 课 时
化简得 n－kk＋1＝34，kn＋－1k＝45，联立解得 k＝27，n＝62.
栏 目
故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数．
开
关 答案 62
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探究点二 二项式系数的单调性及最值
问题 1 根据杨辉三角的第 1 个规律，同一行中与两个 1 等距
离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
利用图象，数形结合进行思考 .
填一填·知识要点、记下疑难点
在(a＋b)n 展开式中，与首末两端“等距离 ”的两
对称性
本
个二项式系数相等，即 Cmn ＝ Cnn－m .
课
时 栏 目
增减
当
k<n＋2 1时，二项式系数
Ckn逐渐增大；当
n＋1 k> 2
开 关
性与 时，二项式系数 Ckn逐渐减小．当 n 是偶数时，展
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答 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项 的系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m；
本 (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的
课 时
两个数的和，即 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
栏
目
开
关
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问题 2 问题 1 中的表称为“杨辉三角”，杨辉三角有什么 作用？
? ??
Cr20·320－r
·2r
≥Cr2－0 1·321－r
·2r
－1
，
化简得
??3?r
?
＋1?≥2?20－r
?
?? 2?21－r ?≥3r
，解之得 725≤r≤825.
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因为 r∈N，所以 r＝8，即 T9＝C820·312·28x12y8 是系数绝对值最
大的项．
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第 2r－1 项系数最大