2012全国大学生数学建模机器人避障问题优秀论文模型

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参

赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D ______________ 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：____________ 2418 ______________ 所属学校（请填写完整的全名）：_________________________________________

参赛队员（打印并签名）：1. ________________________________________

2 _____________________________________________

3. _______________________________________

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：___________________________ （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：_____ 年8月25_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

机器人避障问题模型

摘要

本文主要论述的是在一定区域里，在12种障碍物的情况下，机器人通过直线行走

和圆弧转弯，绕过障碍物，至V达各目标点的最短路径距离，以及到达A点最短时间的问

题。本文将路径划分为若干个直线与圆弧结构来求解。而对于途中绕过障碍物到达目标点，我们分成了两种情况，一种是在所有转弯处均采用最小转弯半径，另一种是在个别转弯处适当扩大转弯半径，使得机器人能够顺利的通过拐弯处，到达目标点。然后再这两种情况下建立数学模型进行求解。

问题一，将各路径分成直线与圆弧的结构进行求解，利用MATLA软件，同时结合CAD 软件计算出两点之间存在的所有最短路径，然后进行整理，利用平面几何方法建立最短路程的模型，最后求得最短路径的最优解并表示出来，结果是：

O^ A 最短路径为：L=470.7314

O^ B 最短路径为：L=852.7121

O^ C 最短路径为：L=1135.0452

O^ 2 4 C^ O 最短路径为：L=1886.1493

问题二，我们研究的情形是当绕过障碍物处的拐点为圆心，圆心固定，半径变化时，我们可以利用平面几何方法建立时间与半径之间的函数关系，得出最优解，当R=10.682 时，到A点最短时间路径T=97.1698

关键词：最短路径；平面几何；MATLAB;AutoCAD最优化模型

1问题重述

图1是一个800W00的平面场景图，在原点0(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描

在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位

为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单

位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走

机器人直线行走的最大速度为v°=5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为V=v(p)= 100 0，其中P是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧

1 +e . 1

翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模

型。对场景图中4个点0(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：

(1)机器人从0(0, 0)出发，O—A、O—B、O—C和0^A f B f C^O 的最短路径。

⑵机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

800

GUO

400

200

200 400 <500 800

图1 800 X 800平面场景图

2模型假设

1. 假设机器人在该平面场景内为一点，不考虑机器人本身的体积大小; 2•假设机器人本身的控制系统灵敏、运行无故障；

3. 忽略机器人转弯及直线行走的速度转换的缓冲时间；

4. 假设机器人行走过程中不受外界因素干扰，为理想状态；

5. 忽略机器人在节点处转弯所需的时间和转弯的路径距离；

3符号说明

L路程长度

T到A点的最短时间路径

R拐角转弯半径

4问题分析