14年高考真题——理科数学(陕西卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷

数学（理科）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．已知集合{}|0M x x =≥，{}

2|1,N x x x R =<∈，则M N =（ ）

（A ）[]0,1 （B ）[)0,1 （C ）(]0,1 （D ）()0,1

2．函数()cos 26f x x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

的最小正周期是( ) （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π

3．定积分

()1

2x

x e dx +⎰的值为( )

（A ）2e + （B ）1e + （C ）e （D ）1e - 4．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是( )

（A ）2n a n = （B ）()21n a n =-

（C ）2n n a = （D ）12n n a -=

5．已知底面边长为1则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) （A ）323π （B ）4π （C ）2π （D ）4π

6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) （A ）1 （B ）2 （C ）35 （D ）45

7．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )

（A ）()12f x x =

（B ）()3

f x x = （C ）()12x

f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

（D ）()3x

f x =

8．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12||||z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9．设样本数据1210,,

,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,

,10i =），则12,

10,y y y 的均值和方差分别为（ ）

（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a

10．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，

已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）

（A ）3131255y x x =

- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）331

1255

y x x =-+

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知42a =，lg x a =，则x = __________。

12．若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为 。

13．设02θπ<<，向量()sin 2,cos a θθ=，

()cos ,1b θ=，若b a //，则=θtan __________。 14．观察分析右表中的数据，猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_______。

15．（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分） ⑴设,,,a b m n R ∈，且2

2

5a b +=，5ma nb +=

，则

的最小值为_________。

⑵如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =，则EF =______。

⑶在极坐标系中，点2,

6π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

到直线sin 16πρθ⎛⎫

-

= ⎪⎝

⎭

的距离是____________。 三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 。⑴若,,a b c 成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；⑵若,,a b c 成等比数列，求B cos 的最小值。 17．（本小题满分12分）四面体

ABCD 及其三视图如图所示，过AB

的中点E 作平行于,AD BC 的平面分别交四面体的棱,,BD DC CA 于点

,,F G H 。⑴证明：四边形EFGH 是矩形；⑵求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值。

18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上。⑴若0=++PC PB PA ，求||OP ；⑵设(),OP mAB nAC m n R =+∈，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值。

19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其

具体情况如右表。⑴设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；⑵若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。

20．（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆()22122:10,0y x C a b y a b

+=>>≥和

部分抛物线()2

2:10C y x

y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点

为,A B ，其中1C

。⑴求,a b 的值；⑵过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，

求直线l 的方程。

21．（本小题满分14分）设函数()()ln 1f x x =+，

()()()0g x xf x x '=≥，其中()f x '是()f x 的导函数。⑴()()1g x g x =，

()()()()1n n g x g g x n N ++=∈，求()n g x 的表达式；⑵若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；⑶设n N +

∈，比较

()1

n

i g i =∑与()n f n -的大小，并加以证明。

2014年普通高校招生全国统考数学试卷（陕西卷）解答

一．BBCCD CDBAA

11

12．()2

2

11x y +-=；13．12；14．2F V E +-=；15

3，⑶1

16．解：⑴因,,a b c 成等差数列，故2a c b +=。由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=，又()sin sin B A C =+，故()sin sin 2sin A C A C +=+；