北师大版八年级数学上册 轴对称解答题单元测试卷附答案

北师大版八年级数学上册 轴对称解答题单元测试卷附答案

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）∠A=______度；

（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；

（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．

【答案】（1）60；（2）

103或203；（3）5或20 【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质即可解答；

（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；

（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.

【详解】

解：（1）60°．

（2）∵∠A=60°，

当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．

∴QA=2PA ．

即2022 2.t t -=⨯

解得 10.3

t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．

∴PA=2QA ．

即2(202)2.t t -=

解得 20.3

t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为

102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t

∵∠A=60°

∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形

∴2t=20-2t ，解得t=5

②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20

综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．

【点睛】

本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.

2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和

△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．

∵AD 是BC 边上的中线，

∴DC DB =．

在ADC 和GDB △中，

AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

（对顶角相等），

∴ADC ≌GDB △（SAS ）．

∴CAD G ∠=∠，BG AC =．

又BE AC =，

∴BE BG =．

∴BED G ∠=∠．

∵BED AEF ∠=∠

∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠

∴AF EF =．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

3．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关

于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵BD=BC=AD，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=

°180-

2

x

可得

°

180-2

2

x x

∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE时，

∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；

②当AD=DE时，