专题三：函数解析式的求法专题总结

专题三：函数解析式的求法

一、待定系数法

方法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例题】设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===321

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

二、配凑法

方法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

【例题】已知221)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x

x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法

方法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例题】已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法

方法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

【例题】已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上

x x y '+'='∴2

把⎩⎨⎧-='--='y

y x x 64代入得：

)4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y ∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法

方法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

【例题1】设,)1

(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 解 x x

f x f =-)1

(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x

1，得： x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x

x x f 323)(--= 【例题2】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，

)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

又1

1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：1

1)()(+-=-+-x x g x f 即1

1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11)(2-=

x x f ， x

x x g -=21)( 六、赋值法

方法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

【例题】 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法

方法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

【例题】设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

分别令①式中的1,21x n =- 得：

(2)(1)2,(3)(2)3,

()(1),f f f f f n f n n -=-=--

=

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，

2

)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=

∴N x x x x f ,2

121)(2 【练习】

(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。

(2)已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x

1，求f (x )的解析式。 (3)已知函数f （x ）是一次函数，且满足关系式3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f (x )的解析式。

分析：此题目中的“f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f 及其定义域.

(1)解法一：【换元法】

设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2

∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1）

∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）

解法二：【凑配法】由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1，∴f(x)=2x -1(x ≥1)

【评注】

①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。

②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。

(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋2

1x －1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1）2－3] ∴f （x ＋x 1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x

1）2－3] ∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3－3x

∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x

1≤－2