函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b

=+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨

⎧=+=3

42b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨

⎧=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．

二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式常用配凑法．但要注

意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．

例2 已知221

)1(x x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x

x ， 2)(2

-=∴x x f )2(≥x ．

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配

凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．

x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．

则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64

，

点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．

把⎩⎨

⎧-='--='y

y x x 64

代入得：)4()4(62--+--=-x x y ．

整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造

方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f ． 解 x x

f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成

x 1，得：x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x

x x f 32

3)(--=．

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”

的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f ． 解

对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ． 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f ．

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=，，，

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，

2)1(321)(+=

+++=∴n n n n f ， +∈+=∴N x x x x f ,2

1

21)(2．

函 数 值 域 求 法 专题

1．重难点归纳．

(1)求函数的值域．

此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．

(2)函数的综合性题目．

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．

(3)运用函数的值域解决实际问题．

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 2．值域的概念和常见函数的值域．

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域．

常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

，

当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤

--∞ ⎥⎝

⎦． 反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >．

对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．

正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．

3．求函数值域（最值）的常用方法．

一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域．

解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：

)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以．

2、求函数

y =

的值域．