(完整版)高考数学说题稿

试题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题

已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a

+>-； （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<

1说题目立意

（1）考查常见函数的导数公式（包括形如()f ax b +的复合函数求导）及导数的四则运算法则；

（2）考查对数的运算性质；

（3）导数法判断函数的单调性；

（4）考查用构造函数的方法证明不等式；

（5）考查分类讨论、数形结合、转化化归等思想。

2说解法

解：()f x 的定义域为(0,)+∞ 定义域优先原则

1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x

+-'=-+-=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；

若0a >，则由()0f x '=，得1x a

=， 当1(0,)x a ∈时，

()0f x '>，()f x 单调递增； 分类讨论的思想 当1(+)x a ∈∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；

归纳小结：本问主要考查导数法确定函数单调性，属导数中常规问题。

（2）

分析：在函数、导数的综合题中，不等式证明的实质就是转化成函数求最值。本问只要考查构造函数法，完成不等式的证明。 形如11()()f x f x a a +>-的不等式叫“二元不等式”，二元不等式的证明，多采用“主元法”。 方法一：构造以x 为主元的函数 设函数11()()()g x f x f x a a

=+--

则()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax =+---

32

22

2()2111a a a x g x a ax ax a x '=+-=+-- 当10x a

<<

时，()0g x '>，而(0)0g =，所以()0g x > 故当10x a <<时，11()()f x f x a a

+>-。 方法一：构造以a 为主元的函数 设函数11()()()g a f x f x a a =+-- 则()ln(1)ln(1)2g a ax ax ax =+---

32

222()2111x x x a g a x ax ax a x

'=+-=+-- 由10x a <<

，解得10a x

<<， 当10a x

<<时，()0g a '>，而(0)0g =，所以()0g a >， 故当10a x <<时，11()()f x f x a a +>- 归纳小结：1构造函数法解决不等式证明

2体现化归的思想

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