第二章第7节有理数的混合运算——简便运算技巧(一)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

有理数的混合运算——简便运算技巧（1）

“算对与算巧”

求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。

二. 重点、难点：

有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。

三. 基础回顾：

（1）有理数的运算法则：

① 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 ② 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

③ 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 ④ 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。

⑤ 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）运算律：

① 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 。

② 加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。 ③ 乘法交换律：ab ＝ba 。 ④ 乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）。

⑤ 乘法对加法的分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac 。 （3）运算顺序及注意事项：

① 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。

② 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。

③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。

【典型例题】

一. 符号与括号

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。

例1. 计算

分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。

解：

下面需对n的奇偶性进行讨论：

当n为偶数时，上式是个（－1）的和，

即；

当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有

说明：两种情况可以合并为：

二. 巧添辅助数

例2. 计算：

解：原式

三. 巧用整体

例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种物品各一件共需多少元？

解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2×1995－2984＝1006（元）

说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5

则，①

②

由2×①－②得

需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。

四. 巧用凑整运算

例4. 计算：

计算：

解：原式=

+-+

-+

()() 782278782222

78782222

22

22

×

×

说明：立方差公式： ))((2233b ab a b a b a ++-=- 立方和公式： ))((2233b ab a b a b a +-+=+

完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+， 2222)(b ab a b a +-=-

六. 巧用拆项法

应考虑运用拆项法消去部分项，上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为

，，而

，同理，

，那么本题就不难解

3322

8.

来进行“拆项”。原式

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 计算：

12345678910111219971998199920002001+--++--+---+++--+

2. 已知0为数轴的原点，A 、B 两点对应的数分别为1、2，设P 1为AB 的中点，P 2为AP 1的中点，…，P 100为P 99的中点，求P 1，P 2，P 3，…，P 100所对应的各数之和。

11421)

5960+

【试题答案】

1. 解法1 ： 原式

=+--++--++--++++--+=--=-+()()()()()123456789102212199719981999200020024500200120002000

×解法2：

原式

解：设

解：原式

5. 解：原式 ＝)]2005

12004

1(

)2004

12003

1(

)4

13

1(

)3

12

1()2

11[(2005-

+-

++-

+-

+-⨯

＝)2005

1

1(2005-⨯

＝2005

20042005⨯

＝2004