平方根基本知识点
数学开方知识点总结
数学开方知识点总结一、整数的平方根1、定义对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。
通常用符号√a来表示a的平方根。
2、性质（1）非负整数的平方根是一个非负整数。
即如果a是一个非负整数，那么它的平方根一定是一个非负整数。
（2）如果a是一个非负整数，那么a的平方根存在且唯一。
即对于任意一个非负整数a，存在唯一的一个非负整数b，使得b * b = a。
（3）如果a和b是两个非负整数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。
3、计算方法（1）试除法试除法是一种通过逐步增大的方式逐个尝试所有可能的非负整数来找到a的平方根的方法。
这种方法比较原始，但是对于小的非负整数还是比较有效的。
（2）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算a的平方根的方法。
该方法利用函数的导数和函数值来不断逼近函数的零点，从而找到a的平方根。
这种方法通常比试除法更加高效，尤其对于大的非负整数。
4、应用整数的平方根在实际生活中有很多应用，比如在工程领域中，用来计算各种物理量的大小，比如速度、加速度、功率等。
在数学领域中，整数的平方根也有很多应用，比如在代数、几何等方面的应用。
二、实数的平方根1、定义对于一个非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。
同样地，通常用符号√a来表示a的平方根。
2、性质（1）非负实数的平方根是一个非负实数。
即如果a是一个非负实数，那么它的平方根一定是一个非负实数。
（2）如果a是一个非负实数，那么a的平方根存在且唯一。
即对于任意一个非负实数a，存在唯一的一个非负实数b，使得b * b = a。
（3）如果a和b是两个非负实数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。
3、计算方法（1）试除法试除法也适用于计算非负实数的平方根，但是由于实数的数量级比较大，那么这种方法通常比较低效。
（2）牛顿迭代法和整数的平方根一样，牛顿迭代法也适用于计算非负实数的平方根。
高考数学中的常见平方根求值
高考数学中的常见平方根求值在高考数学中，平方根是一个常见的数学运算。
它是数学中重要的基础知识点，掌握好平方根的求值方法对于解题非常重要。
下面我们将介绍高考数学中常见的平方根求值方法。
一、平方根的定义平方根是一个数学概念，指的是一个数的平方等于给定数的值。
设a为非负实数，如果x满足x²=a，那么称x为a的平方根，记作√a。
二、求非负实数的平方根1. 完全平方数的平方根如果一个数的平方是一个完全平方数，那么这个数就是一个完全平方数的平方根。
例如，4的平方根是2，9的平方根是3。
2. 非完全平方数的平方根对于非完全平方数的平方根，我们可以使用开平方公式进行求解。
设b为非负实数，且b≥2，那么有以下开平方公式：√b = c⇔b = c²其中，c为非负实数，c即为b的平方根。
三、平方根的基本性质1. 非负实数的平方根均为非负实数。
2. 平方根的乘积等于被开方数。
即√(a * b) = √a * √b。
3. 平方根与幂运算的关系。
即(a的m次方根)的n次方等于a的(m * n)次方根。
即(√a)的b次方= √(a^b)，其中a为非负实数。
四、利用平方根的求值方法在高考数学中，有很多题目需要我们求解平方根，下面我们将介绍一些常见的平方根的求值方法。
1. 利用近似计算当我们需要计算一个非完全平方数的平方根时，可以利用近似计算方法进行估算。
比如，我们可以使用计算器求出近似值，然后在答案选项中找出最接近的值。
2. 利用因数分解法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，如果可以将这个数进行因数分解，我们可以将其中一个因数开平方后，再与另一个因数进行运算。
例如，对于54的平方根，我们可以将其因数分解为2² * 3³，那么√54 = 2√3。
3. 利用恒等变形法有些数的平方根可以利用恒等变形的方法进行求解。
例如，对于16的平方根，我们可以利用性质√(a/b) = √a / √b进行恒等变形，即√16 =√(4*4) = 4。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。
本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。
通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。
一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。
以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。
二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。
即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。
2. 正数的算术平方根只有一个。
即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。
3. 零的算术平方根是零。
即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。
4. 负数没有实数算术平方根。
即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。
三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。
例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。
2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。
3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。
例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。
四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。
2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。
3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。
4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。
五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。
算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。
平方根知识点
平方根知识点
1. 平方根的定义
平方根是一个数的平方等于另一个数的运算过程。
如果a的平方等于b,那么a就是b的平方根,用符号√b表示。
2. 求平方根的方法
- 对完全平方数,可以直接求出平方根
- 对非完全平方数,可以用算术平方根估算法或牛顿迭代法等方法近似求解
- 使用计算器或电脑程序求平方根
3. 平方根的性质
- 非负数的平方根是非负数
- 负数没有实数平方根
- 1的平方根是1
- 0的平方根是0
- 平方根符号可以省略,如√9 = 3
4. 平方根的运算法则
- √(a*b) = √a * √b
- √(a/b) = √a / √b (b≠0)
- √(a^n) = (√a)^n
- √(a+b) ≠ √a + √b (加减平方根不能直接分离)
5. 无理数与有理数
如果一个数的平方根是有理数,那么这个数就是有理数;如果平方根是无理数,那么这个数就是无理数。
√2是一个无理数。
平方根是一个重要的数学概念,在许多领域都有应用,理解其定义、性质和运算法则是学习高等数学的基础。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作■. a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即>0，a >0.2•平方根的定义如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a（a > 0）的平方根的符号表达为_-、a（a_O），其中,a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（i）定义不同；（2）结果不同：和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写岀它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，62500 =250，、、宓=25，,625 =2.5，0.062^0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m —4与3m —1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m —4=—（3m —1），解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m —4 = —（3m —1 ），解得m = 1；••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2a —1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a —1与—a + 2是m的平方根，所以2 a —1与—a + 2相等或互为相反数.2 2解：①当2a —1 = —a + 2时，a = 1,所以m =(2a —1) =(2x 1 —1)=1②当2 a —1+(—a + 2)= 0时，a =—1，2 2 2所以m =(2a—1 ) =[2x(—1)—1]2=(七)=92、X为何值时，下列各式有意义？(1)X2; (2)、X 一4 ; (3)、、X • 1 • ■ 1 一X ; (4) ― 1 -x —3【答案与解析】解：(1)因为X2_0，所以当X取任何值时，X2都有意义.(2)由题意可知：x-4亠0，所以x亠4时，x-4有意义.「x+1^0 >(3)由题意可知：解得：一1乞X岂1 •所以「1冬X岂1时•• X • 1 • 1 - X有意义.J -x X0「x—1 兰0(4)由题意可知：，解得X _ 1且X = 3 .x -3 式0:(X -1所以当X _1且x=3时，有意义.x —3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b =4. 3a -2 2 . 2 -3a 2，a b【答案】^3a—2 二0 2113 1解：根据题意，得'则a ，所以b = 2，二2，2-3^0.3 a b 2 21 1二的算术平方根为a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.1 ___________ 1 ____ -、.话 - .900.3 5【思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义 •( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴、.252 -242 LI 「32 42 二「49 L 一无=7 5 = 35 ； ⑵，201 一1预一 1「81 一〕0.6 一〕30 =9—0.2 一6 —1.7 . ^43 5 V 4 3 5 2【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行. (2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据Ja 2=a(a .0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 X .2 2(1) x -361 =0; (2) x 1 289 ；(3) 9(3x+2 f —64 =0 【答案与解析】 解：(1)丁 x 2 -361 =0••• x 2 =361••• x = 一 361 = 192(2)丁(x +1 ) =289 • x 1 二.289 • x + 1 = ± 17x = 16 或 x =- 18.K{ A 2(3)••• 9(3x+2 丫-64 = 064• 3x 2 2二98•- 3x 2 = 32十149 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2) ( 3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的X :(1 )若X2=1.21，则x = ________ ；(2) X2=169，则x = __________ ；2 2 2(3)若X ,则X = ___________ ；(4)若X 2 ，贝U X = ____________ .43【答案】(1 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3) ； ( 4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a、b 是实数，且..2a 6 |b _=0，解关于X的方程(a • 2)x • b2二a _ 1 .【答案与解析】解：••• a、b 是实数，.2a 6 |b —|=0，2a 6 _ 0, |b-辽|_0,••• 2a 6 = 0 , b「.2 二0 .a = — 3，b = •. 2 .把a =—3, b-2 代入(a+2)x+b2= a-1，得—X + 2 = —4,二X = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求岀a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若X2—1 •y 1 =0，求X2011- y2012的值.【答案】解：由x2「1y • 1 = 0，得x2「1 = 0 , y T = 0，即X= 1 , y = -1 .2011 2012 ,2011 / 八2012①当X = 1, y =—1 时，X y =1 (—1) =2 .②当X =—1, y =—1 时，X y =(一1) (一1) =0 .2 26、小丽想用一块面积为400 cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X ( X >0) cm，则宽为2 X cm，依题意得3X 2X =300.6X2-300 .x2=50.X >0,x 二空50.长方形纸片的长为3, 50 cm .•/ 50 > 49,/• .50 7.••• 3・.50 .21,即长方形纸片的长大于20cm .2由正方形纸片的面积为400 cm ,可知其边长为20 cm ,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片20 cm的正方形纸片裁【总结升华】本题需根据平方根的定义计算岀长方形的长和宽，再判断能否用边长为岀长方形纸片.。
平方根与立方根知识点小结
平方根与立方根知识点小结平方根"与"立方根"知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作"$\pm \sqrt{a}$"（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作"$\sqrt{a}$"。
2、立方根：⑴、定义：如果$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作"$\sqrt[3]{a}$"（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；$0$的立方根是$0$；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是$0$；算术平方根是其本身的数是正数和$0$；立方根是其本身的数是正数和负数$1$。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、$a$本身为非负数，即$a\geq 0$；$a$有意义的条件是$a\geq 0$。
4、公式：⑴$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）；⑵$-\sqrt[3]{a}=-3\sqrt[3]{a}$（$a$取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于$0$，则每一个非负数都为$0$（此性质应用很广，务必掌握）。
例1：求下列各数的平方根和算术平方根1）$64$；（2）$(-3)$；（3）$1$例2：求下列各式的值1）$\pm 81$；（2）$-16$；（3）$\sqrt{2}$；（5）$1.44$，（6）$-36$，（7）$\pm \sqrt{3}$例3：求下列各数的立方根：⑴$343$；⑵$-\frac{2}{115}$；⑷$(-3)^{\frac{2}{9}}$；（4）$-4$.8）$-\sqrt[3]{25}$；⑶$0.9$二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当$a\geq 0$时，$a$的平方根是$\pm a$，即$a$是非负数。
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
七年级数学平方根知识点
七年级数学平方根知识点作为学习数学的基础知识，平方根无疑是七年级数学课程中必不可少的一部分。
掌握平方根的知识，不仅有助于我们更好地理解数学知识体系，还可以帮助我们更好地应对日常生活中的数学问题。
本文将就七年级数学平方根知识点进行详细阐述。
一、什么是平方根顾名思义，平方根就是某个数的平方等于它自己的根。
比如2的平方根，就是一个数x，满足x的平方等于2。
通常情况下，平方根用符号√表示。
在数学中，平方根通常有两个解，一个是正的，另一个是负的。
二、平方根的性质平方根具有以下性质：1.非负数的平方根唯一。
也就是说，一个非负数只有一个正的平方根。
2.任何正数的平方根都是正数。
3.如果一个数的平方小于另一个数，则该数的平方根小于另一个数的平方根。
也就是说，平方根具有单调性。
4.如果x>0，那么x的平方根与x互为倒数。
三、平方根的求法1.手算法在七年级数学中，学生可以通过手算法来计算正数的平方根。
一般来说，人们使用“长除法”来进行平方根的计算。
具体方法如下：（1）在要求的数中，从右向左开始，每两位一组加上一个空位。
如果位数是奇数，可以在左边再加上一个空位。
例如，对于数字225，可以写成2 25。
（2）从左向右，找出第一个数字，使它的平方比前面两位数小或等于，将这个数字写在平方根的下面。
例如，对于数字225，可以先把根号下的空格填上一个5。
（3）将前面的这个数字与第一个数成一组，将他们的乘积写在前面两位上。
（4）从新的两位数或三位数中找出一个数，使它与前面的数成一组，且使得前面一组数与新的数成的积小于两位数或者三位数。
将这个数写在根号下面，并计算出与前面一组数字的积。
重复这个步骤，直到所有数字都用完。
2.计算器法另一种计算平方根的方法是使用计算机。
一般来说，在计算中使用平方根函数（sqrt()），可以快速准确地获得平方根。
例如，对于数字2，可以在计算器上输入sqrt(2)，即可获得2的平方根。
四、平方根的应用平方根在日常生活中有着广泛的应用。
初中数学平方根和立方根知识点整理
初中数学平方根和立方根知识点整理平方根和立方根是初中数学中重要的概念，它们帮助我们解决各种数学问题，并在实际生活中得到广泛应用。
本文将整理和讨论平方根和立方根的相关知识点。
一、平方根1. 定义：一个数的平方根是一个数，使得它的平方等于原来的数。
通常用符号√表示。
2. 平方根的计算方法：a. 完全平方数的平方根是一个整数。
例如，16的平方根是4，因为4×4=16。
b. 对于不是完全平方数的数，可以使用近似法或者长除法来计算其平方根。
例如，对于数25，其平方根是5。
3. 平方根的性质：a. 对于正数x，平方根√x的值永远是非负的。
b. 当x > 0时，平方根√x的绝对值小于x的绝对值。
c. 平方根√x与x的关系是对称的，即(-√x) = √(-x)。
4. 平方根的运算规则：a. 具有相同指数的平方根可以合并。
例如√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
b. 平方根与指数的运算规则相反。
例如(√2)^3 = √2 × √2 × √2 = 2√2。
二、立方根1. 定义：一个数的立方根是一个数，使得它的立方等于原来的数。
通常用符号³√表示。
2. 立方根的计算方法：a. 完全立方数的立方根是一个整数。
例如，27的立方根是3，因为3³=27。
b. 对于不是完全立方数的数，可以使用近似法或者试除法来计算其立方根。
例如，对于数125，其立方根是5。
3. 立方根的性质：a. 对于正数x，立方根³√x的值永远是非负的。
b. 当x > 0时，立方根³√x的绝对值小于x的绝对值。
c. 立方根³√x与x的关系是对称的，即(-³√x) = ³√(-x)。
4. 立方根的运算规则：a. 具有相同指数的立方根可以合并。
例如³√2 × ³√3 = ³√(2 × 3) = ³√6。
平方根(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪−<⎩()20a a =≥四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ）（2．（ ）（3）的平方根是．（ ） 250=25= 2.5=0.25=m m m m m m m m m ()24−9−4=±21()10−110±（4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例2、 填空：（1）是 的负平方根．（2表示 的算术平方根， ．（3的算术平方根为 ． （4，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 【变式1】下列说法中正确的有（ ）：③ 3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是 ．25−−4254=25425a a m m a a m a a a a a m ()()22212111a −=⨯−=a a a ()()22221[2(1)1]39a −=⨯−−=−=4−=3=x =3=x =181191911;164138−【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例3.为何值时，下列各式有意义？； (4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当(2)由题意可知：，所以(3)由题意可知：解得：．所以(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式1的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，≥0，≥0.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴．x 3x −20x ≥x 40x −≥4x ≥1010x x +≥⎧⎨−≥⎩11x −≤≤11x −≤≤1030x x −≥⎧⎨−≠⎩1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠3x −x x 1−x x 1−a a 2b =11a b+320,230.a a −≥⎧⎨−≥⎩23a =b 1131222a b +=+=11a b +=题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：；．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值， （1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x ，x=x=. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36，x ﹣2=2234+2234+257535==⨯=110.63035=⨯−⨯90.26 1.72=−−=−(0)a a =>2144=1691213±x ﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1） （2）； （3）【答案与解析】解：（1）∵∴ ∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.【变式2】求x 的值：（x ﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x ﹣2）2=36， x 23610;x −=()21289x +=()2932640x +−=23610x −=2361x =19x ==±()21289x +=1x +=x x x ()2932640x +−=()264329x +=8323x +=±21499x x ==−或∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型四、平方根的综合应用例6.若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=， 则原式=1．【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.，求的值． 【答案】，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，． 【变式2】已知a 2＝16，|﹣b |＝3，解下列问题：（1）求a ﹣b 的值；（2）若|a +b |＝a +b ，求a +b 的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a ＝±4，b ＝±3．∴当a ＝4，b ＝3，则a ﹣b ＝4﹣3＝1；当a ＝4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝4﹣（﹣3）＝7；当a ＝﹣4，b ＝3，则a ﹣b ＝﹣4﹣3＝﹣7；当a ＝﹣4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a ﹣b ＝±1或±7．0=20112012x y +0+=210x −=10y +=1x =±1y =−x y 20112012201120121(1)2x y +=+−=x y 2011201220112012(1)(1)0x y +=−+−=（2）∵|a+b|＝a+b ，∴a+b ≥0．∴a+b ＝1或7．∴当a+b ＝1时，a+b 的平方根为±1；当a+b ＝7时，a+b 的平方根为±． 综上：a+b 的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键． 例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得. . . ∵ ＞0， ∴ .∴ 长方形纸片的长为.∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积． 2cm 2cm 2:3x x cm x cm 32300x x ⋅=26300x =250x =x x=cm 7>21>cm 2cm cm cm【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为，宽为cm(2)不能，理由见详解【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得x=或x=−，则3x=，2x=．答：长方形纸片的长为，宽为；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm ，∵20>cm ，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程． 题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14≈141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873 1.225≈_____≈______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；【详解】解：（1 1.414≈14.14141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873 1.22512.25≈0.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝ ；＝39.522，则x ＝ ；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x ＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．【解答】解：20的算术平方根为，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，∴正方形的边长小于5．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．2．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4B．2C．±4D．±2【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根为±2．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A．B．C．﹣D．±【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A．B．C．D．±【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．0，±1【分析】根据平方根的定义选项．【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01B．±1.01C．±0.101D．10.1【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．【解答】解：∵，∴故选B．【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一个是，另一个是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，∴这个数是（﹣10）2＝100，∴100的平方根为±10，∴另一个平方根是10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴这个数是102＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算术平方根为，故答案为：．【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是．【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为．【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的长方形的长为5x，宽为x，所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，故答案为：12．确解答的前提．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；故答案为：；（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；故答案为：25；（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴所有满足要求的x的值为0或1．故答案为：0或1．【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分两种情况：当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值为：5或﹣25．【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根为＝±3．【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求a b的平方根．【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．【解答】解：（1）∵|a|≥0，∴|a|+3有最小值，最小值为3，故答案为：小，3；（2）∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴5﹣a2≤5，即5﹣a2有最大值，最大值为5，故答案为：大，5；（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；答：ab的平方根为±2或±3．【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∴a+3＝7，∴这个数是49；（2）由题意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m＝﹣，n＝，∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，∴m2+n2的平方根是±．【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x ＝1．解答问题：已知y＝++2，求x y的值．【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：已知y＝++2，1﹣2x＝0，2x﹣1＝0，解得x＝，则y＝2，则xy＝（）2＝．【点评】本题考查了算术平方根，注意算术平方的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．。
平方根运算基本公式
平方根运算基本公式平方根运算，这可是数学里的一个重要知识点哦！咱先来说说啥是平方根。
比如说，一个数的平方等于 9 ，那这个数就是 9 的平方根。
因为 3 的平方是 9 ， -3 的平方也是 9 ，所以 9 的平方根就是 ±3 。
平方根运算有个基本公式，那就是：若 x² = a ，则x = ±√a 。
这里要注意啦， a 必须是非负数，也就是大于等于 0 。
就拿个简单的例子来说吧，咱算 16 的平方根。
因为 4 的平方是 16 ，-4 的平方也是 16 ，所以 16 的平方根就是 ±4 。
用公式表示就是：因为4² = 16 ，所以±√16 = ±4 。
我记得之前教过一个学生小李，他刚开始学平方根的时候，总是搞不清楚正负号的问题。
有一次做作业，题目是求 25 的平方根，他居然只写了 5 。
我就问他：“小李啊，你想想， (-5) 的平方是不是也等于 25 呀？”他恍然大悟，拍着脑袋说：“哎呀老师，我怎么给忘了！”从那以后，每次做平方根的题目，他都会特别注意正负号的问题。
再来说说平方根的一些性质。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0 ；负数没有平方根。
这就好比正数有两个“好伙伴”， 0 自己跟自己玩儿，负数连个“伙伴”都没有。
咱来做几道题练练手。
比如说求 100 的平方根，那就是 ±10 。
再比如求 0.09 的平方根，因为 0.3 的平方是 0.09 ， -0.3 的平方也是 0.09 ，所以 0.09 的平方根就是 ±0.3 。
在实际生活中，平方根的运算也有不少用处呢。
比如说，要计算一个正方形的边长，已知它的面积是 49 平方米，那边长就是 7 米，因为7 是 49 的平方根呀。
学习平方根运算的时候，可别嫌麻烦，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就熟练啦。
就像骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快。
算术平方根的数学知识点
算术平方根的数学知识点算术平方根的数学知识点在年少学习的日子里，大家都背过各种知识点吧？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
相信很多人都在为知识点发愁，以下是店铺为大家整理的算术平方根的数学知识点，欢迎大家分享。
算术平方根的双重非负性1.√a中a≧02.√a≧0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示算术平方根举例9的平方根为±3 ;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是正数。
算术平方根辨析算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。
可对于初学者来说是对“孪生杀手”，很容易在解题过程中产生错误。
算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?一、两者区别1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的`平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。
⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。
这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：⑴a的算术平方根记为√a ，读作“根号a”，a叫做被开方数(radicand)。
⑵a的平方根记为±√a，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。
3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。
这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。
零只有一个平方根二、两者联系1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
第05讲 平方根（学生版）
第5讲 平方根【知识扫描】知识点一 算术平方根的定义及表示方法 1. 算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根；a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”或“二次根号a ”，a 叫做被开方数。
规定0的算术平方根还是0，即0＝0。
当式子a 有意义时，一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。
而当a ＜0时，a 没有意义。
2. 平方根的定义如果一个数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个数x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根有两根，分别是它的算术平方根“a ”和算术平方根的相反数“－a ”，记作“a ±”，读作“正、负根号a ”。
0的平方根为0。
任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
归纳：平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根知识点二 平方根与算术平方根的区别和联系 1. 区别（1）定义不同：如果a x ＝2，那么x 叫做a 的平方根；如果a x ＝2（x ≥0），那么x 叫做a 的算术平方根；（2）表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a （3）平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1。
2. 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
知识点三 平方根的性质2(0)||0(0)(0)aa a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aaa =≥【典型例题】考点一 算术平方根和平方根的定义和性质 【例1】求下列各数的算术平方根（1）81的算术平方根是________；（2）425的算术平方根是________； （3）0.0016的算术平方根是________ 【变式】下列说法正确的是（ ）A. 3是9的算术平方根B. －2是4的算术平方根C. (－2)2的算术平方根是－2D. －9的算术平方根是3 【例2】求下列各数的算术平方根（1）49的平方根是________；（2）8164的平方根是________； （3）0.36的平方根是______。
初中数学平方根知识点总结
初中数学平方根知识点总结在初中数学中，平方根是一个非常重要的概念。
理解和掌握平方根的知识，不仅能帮助我们解决各种数学题目，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将对初中数学平方根的知识点进行总结。
1. 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的数。
对于非负实数a，它的平方根记为√a，满足√a×√a=a。
2. 平方根的性质（1）若a≥0，那么√a≥0。
（非负实数的平方根非负）（2）若a>0，那么√a^2=a。
（非负实数的平方的平方根等于其本身）（3）若a>0，那么√(a×b)=√a×√b。
（非负实数的乘积的平方根等于各个因子的平方根的乘积）（4）若a>0，那么√(a/b)=√a/√b。
（非负实数的商的平方根等于被除数的平方根除以除数的平方根）3. 开方与平方的关系计算平方根的逆运算称为开方。
例如，计算√a，其逆运算就是a的平方。
平方与开方是互为逆运算的，即a=(√a)^2，√(a^2)=|a|。
4. 简化平方根我们可以将一个数的平方根进行简化，以便更好地计算和理解。
一个数的平方根可以简化为最简根式的形式，即把根号内所包含的质数因子提出根号外面。
例如，√12=√(4×3)=2√3。
5. 无理数不能表示为两个整数的比的形式时，我们将其称为无理数。
平方根一般都是无理数，除非可以化简为整数或分数形式。
例如，√2、√3、√5等都是无理数。
6. 平方根的运算（1）平方根的运算中，计算平方根的顺序可以影响结果。
（2）对于一个非负实数a和b，有以下运算规则：a. √(a×b)=√a×√bb. √(a/b)=√a/√bc. √a±√b不能简化，因为它们属于不同的无理数等价类。
7. 平方根的应用平方根在日常生活和各种实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：（1）几何学中，平方根的知识可以应用于计算图形的面积和边长。
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1、4 的平方根是 9
，25 的平方根是_____＿___. (-4)2 的平方根是_＿_____＿__
＿.
2、 (9) 2 的平方根是( )（A）±3
(Ｂ)±9 (C）３
(D)-9
二、平方根的表示:
求下列各数的平方根：5, ３, 1２1,
定义:
思考:平方根和算术平方根的区别和练习
练习：
1、求下列个数的算术平方根
1.3 当 x ≤0 时， x2 的值为( )A. ０ﻩＢ. x Ｃ． x
D. x
1.4 若 x2 81，则 x 的取值范围是（
）A．3
B．9
C. 3
D. 81
2、若 x 0 ，则 x2 x 等于( ）(A）0 (B）2x （C）2x （D）０或 2x
4、已知２a－1 的平方根是±３,3a+b－１的平方根是±4,求 a＋2ｂ的平方根
（2）ａ-b 的值.
--
1 （1)、 196; （2） 256
;（3)0.04 ； （4)102
2、如果一个数的平方根是 a 3 和 2a 15,求这个数。
练习:１、若 a 的平方根是±5，则 a =_＿____＿____.
2、设 x2 a ，有下列几种说法:（１）ａ是 x 的平方根 （２)a 是 x 的平方（3）
x 是 a 的平方根(4）x 是 a 的平方。正确的是( )
1.4 若 x y 4 x y 2 0 ，则 xy ____＿_____＿_
2、若 5x 1 有意义,则 x 能取的最小整数是( )
Ａ. 1
B．０
C.1
D．２
3、已知ａ、b 满足 2a 8 b 3 0 ,解关于 x 的方程 a 2x b2 a 1。
Байду номын сангаас
3.1△ABC 的三边长分别为 a、b、c，其中 a 和 b 满足 a 2 b 32 0 ,求 c 的
20１1-２012 暑期第一次课 一、平方根的定义
内容:平方根
--
一定有两个。其中正确的有（
4、判断：9 的平方根是 3(
)个。(A）１ (B）2
(Ｃ)３ (D）4
）; 3 是 9 的平方根(
)
填空：
9 的平方根是
3 是 9 的平方根
(
）
平方根的定义: 注意：
2 是 4 的平方根（
）
三、算术平方根
练习：
)
(A）2 (B) 4x 4
六、 的取值范围:
（C) 2 （D） 4x 4
练习:1、绝对值小于 7 的整数有＿__＿__.
1.１大于 17 小于 11 的所有整数;
(2) 绝对值小于 18 的所有整数.
２、已知 5＋ 11 的小数部分为 a,5－ 11 的小数部分为ｂ，求:
(1)a＋b 的值;
,, ，
（４)可以平方的数一定也可以开平方 (5)如果一个数有平方根,那么这个数的平方根
从上面的计算,你可以得到那些结论：
--
-５、当ｘ__＿________时， 2x 5 有意义，若 2 x 有意义,则 x______＿＿ x
练习:1、若 3 x x 3 有意义,则 x 的取值范围是( ) A. x 3 Ｂ. x 3 C． x 3 Ｄ. x 3
（Ａ）(1）和(２）
(Ｂ）(2）和（3） (C)(2）和（4）
（Ｄ)(１)和（3）
2.１一个数的平方根是２a-3 与 5－a,求 a 的值和这个数。
3、有下列说法：（1） 16 4
（2）因为 4 是正数，所以 4 有平方根
四、非负性
(3)因为 0 既不是正数也不是负数，所以０没有平方根
计算下列各值: , , ,
２.1 已知 a, b 是实数,且 a2 2ab b2 b a ，则 a 与 b 的大小关系是（
）
（Ａ) a b
(B） a b
（C） a b
(D） a b
--
--
五、公式
的区别和联系：
1、a 的取值范围
2、结果的范围
３、结果
2
练习:1、化简 4x2 4x 1 2x 3 得(
取值范围。
计算下列各数:1： ;
；
；
；
2：
；
；
;
3：
总结: =
或=
练习：1、若 (1 K )2 =1-Ｋ，则 K 的值（
）
A.Ｋ≤1 ﻩ ﻩ ﻩＢ．K≥1 ﻩ ﻩ ﻩC．０≤Ｋ≤1 ﻩ ﻩＤ.K<1
１.1 (x 2)2 2 x ，则 x 的取值范围是__________．
1.2 已知 x2 5 ,则 x 为( )Ａ. 5 B. -5 C． ±５ ﻩD. 以上都不对
１.1 若 x、y 都是实数，且 y = 2x 3 3 2x 4,求 xy 的值．
5.1 当 x
时,式子 x 1 有意义,当 x
五、 的应用:
时,式子 x 2 有意义 2x 4
1.2 已知 x 1 1 x y 4 ,求 x 与 y 的值。 1.３已知ｘ、y 都是实数，且 y x 2 2 x 4 ，求 y x 的平方根。