微专题十五 巧用旋转进行证明与计算

微专题十五巧用旋转进行证明与计算[见学用《高分作业》PB60]【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1 经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．[2018·淄博]如图Z15－2，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为(A)A．9＋2534B．9＋2532C．18＋25 3 D．18＋253 2图Z15－2 中考变形1答图【解析】 ∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ，如答图，可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连结EP ，且延长BP ，作AF ⊥BP 于点F .∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°，在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋P A 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，∴∠APF ＝30°，∴在Rt △APF 中，AF ＝12AP ＝32，PF ＝32AP ＝323，∴在Rt △ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝25＋123， 则△ABC 的面积是34AB 2＝34·(25＋123)＝9＋2534.2．[2018·枣庄]如图Z15－3，在正方形ABCD 中，AD ＝23，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连结AP 并延长交CD 于点E ，连结PC ，则△PCE的面积为．图Z15－3【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝23，∵AD＝23，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝23－2，PE＝4－23，过P作PF⊥CD于F，∴PF＝32PE＝23－3，∴S△PCE ＝12CE·PF＝12×(23－2)×(23－3)＝9－5 3.3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.(1)线段DC＝__4__；(2)求线段DB的长度．图Z15－4 中考变形3答图解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；(2)如答图，作DE⊥BC于点E.∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，在Rt△CDE中，DE＝12DC＝2，CE＝32DC＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝ 3.在Rt△BDE中，BD＝DE2＋BE2＝22＋（3）2＝7.4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．图Z15－5解：(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD＝AC.证明：中考变形4答图①如答图①，延长BD交AC于点F.∵AE⊥BC于点E，∴∠BED＝∠AEC＝90°.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△DBE≌△CAE(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE.∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACE.∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴BD⊥AC；中考变形4答图②(2)否．证明：如答图②，AC与BD交于点F，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，即∠BED＝∠AEC.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，中考变形4答图③∴BD⊥AC；(3)如答图③，AC与BD交于点F.∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，∴AE ＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC ＝∠DCE ＝60°，∠BEA ＝∠DEC ＝60°， ∴∠BEA ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，∴∠BED ＝∠AEC ，在△BED 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BED ＝∠AEC ，DE ＝CE ，∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴∠BDE ＝∠ACE ，∴∠DFC ＝180°－(∠BDE ＋∠EDC ＋∠DCF )＝60°，∴BD 与AC 的夹角度数为60°或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP ′C ，连结PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB ＝__150°__；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图③，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A ＝22，PB ＝1，PD ＝17，求∠APB 的度数和正方形的边长．图Z15－6解：(1)由旋转的性质，得P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°；(2)如答图，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，中考变形5答图由旋转的性质，得P′A＝P A＝22，P′D＝PB＝1，∠P AP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2P A＝2×22＝4，∠AP′P＝45°，∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝(17)2＝17，∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°，∴∠AP′D＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°，∴∠APB＝∠AP′D＝135°.∵∠APB＋∠APP′＝135°＋45°＝180°，∴P′，P，B三点共线．过点A作AE⊥PP′于点E，则AE＝PE＝12PP′＝2，∴BE ＝PE ＋PB ＝2＋1＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝22＋32＝13.【中考预测】(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高线AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；(2)如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN ＝45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连结NH ，试判断MN 2，ND 2，DH 2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG ＝4，GF ＝6，求正方形ABCD 的边长．图Z15－7解：(1)在正方形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∵AG ⊥EF ，∴△ABE 和△AGE 是直角三角形．在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AG ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE (HL )，∴∠BAE ＝∠GAE .同理，∠GAF ＝∠DAF .∴∠EAF ＝∠EAG ＋∠F AG ＝12∠BAD ＝45°；(2)MN 2＝ND 2＋DH 2.由旋转可知，∠BAM ＝∠DAH ，∵∠BAM ＋∠DAN ＝45°，∴∠HAN ＝∠DAH ＋∠DAN ＝45°.∴∠HAN ＝∠MAN .在△AMN 与△AHN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ，∠MAN ＝∠HAN ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AHN (SAS )，∴MN ＝HN .∵∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB ＝45°， ∴∠HDN ＝∠HDA ＋∠ADB ＝90°，∴NH 2＝ND 2＋DH 2，∴MN 2＝ND 2＋DH 2；(3)由(1)知，BE ＝EG ＝4，DF ＝FG ＝6.设正方形ABCD 的边长为x ，则CE ＝x －4，CF ＝x －6. ∵CE 2＋CF 2＝EF 2，∴(x －4)2＋(x －6)2＝102， 解得x 1＝12，x 2＝－2(不合题意，舍去)．∴正方形ABCD 的边长为12.。