正弦定理的几种证明方法

正弦定理的几种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定

义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。

由此，得

sin sin a

b

A

B =

，同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，

故有

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得

=

∠sin sin a

b

A ABC ，

同理可得

=

∠sin sin c

b

C

ABC

故有

=

∠sin sin a

b

A

ABC

sin c

C =

.

由(1)(2)可知，在∆ABC 中，

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.

1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：

在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ，

a

b

D

A

B

C

A

B C

D

b

a

求边AC 的长b

解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则

cos AD c A =

sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C

DC C C C C =

==

sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B

b AC AD DC

c A C C C

+==+=+

==

推论：

sin sin b c

B C

= 同理可证：sin sin sin a b c

A B C

==

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB

中,AB

AD

B =

sin ,∴AD=AB·sinB=csinB.

∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21

sin 21=.

∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2

1

sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB,

在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C

c

B b A a sin sin sin =

=. 3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j

与

CB

的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得

AB CB AC =+,

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(

D

C B

A

由分配律可得AB j CB j AC •=•+.

B

∴|j |

AC Co s 90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ).

j

∴asinC=csinA.

∴

C

c

A a sin sin =

. A

另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得

B

b C

c sin sin =

.

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角

为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )

∴

C

c

B b A a sin sin sin =

=.

(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j

与

AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .

由AB CB AC

=+,得j ·AC

+j ·CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A -90°),

∴asinC=csinA.

∴

C

c

A a sin sin =

另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹

角为90°+B .同理,可得C

c

B b sin sin =

.∴

C

c

B b simA a sin sin =

= 4.外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,

连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同

A

C

C

B

A