常系数高阶齐次线性微分方程

(2)的特征方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y′′ + py′ + qy = 0
-----特征方程法 -----特征方程法
设 y = e rx , 将其代入上方程 得 将其代入上方程,
( r + pr + q )e = 0
2 rx
Q e ≠ 0,
rx
故有
r + pr + q = 0
2
特征方程
特征根 r1, 2 =
令 z = ln y
则 z ′′ − z = 0,
特征根 λ = ±1
z = C1e x + C 2e − x ∴ln y = C1e x + C2e−x . 通解
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解:
d2x dx 1、 1、 y ′′ − 4 y ′ = 0 ； 2、4 2 − 20 + 25 x = 0 ； dt dt 3、 3、 y ′′ + 6 y ′ + 13 y = 0 ； 4、 y ( 4 ) + 5 y ′′ − 36 y = 0 .
次代数方程恰有n个根 注 1、n次代数方程恰有 个根。 次代数方程恰有 个根。 属于不同特征根的解线性无关 根的解线性无关。 2、属于不同特征根的解线性无关。
注意 n次代数方程有 个根 而特征方程的每一个 次代数方程有n个根 次代数方程有 个根, 根都对应着通解中的一项, 根都对应着通解中的一项 且每一项各一个 任意常数. 任意常数 y = C1 y1 + C 2 y2 + L + C n yn
(2)
由 2)的项的特点及 y = erx的特点： ( 的特点：
(erx )(n) = r nerx , erx 是 的解⇔ (2) r nerx + p1r n−1erx + L+ pn−1re rx + pnerx = 0
⇔ r + p1r
n
n−1
+L+ pn−1r + pn = 0
(3)
r 即：为特征根。
− p±
p − 4q , 2
2
1. 有两个不相等的实根(∆ > 0) 特征根为 r1 =
− p+
p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , r2 = , 2 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
rx 1
得齐次方程的通解为 y = C1e
+ C2e ;
r2 x
2 1
知 u′′ = 0,
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x,
1
得齐次方程的通解为 y = (C1 + C2 x)e ;
rx 1
3. 有一对共轭复根 (∆ < 0) 特征根为
r1 = α + iβ ,
r2 = α − iβ ,
(α − iβ ) x
y1 = e
(α + iβ ) x
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = f (x)
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y
( n)
+ p1 y
( n−1)
+L+ pn−1 y′ + pn y = f ( x)
(1)
n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式
y
( n)
+ p1 y
( n−1)Leabharlann Baidu
+L+ pn−1 y′ + pn y = 0
下列微分方程满足所给初始条件的特解: 二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y ′′ + 4 y ′ + y = 0 , y x = 0 = 2 , y ′x = 0 = 0 ； 2、 y ′′ − 4 y ′ + 13 y = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = 3 . 三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x + 3 都是它的解 . 四、设圆柱形浮筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当稍 设圆柱形浮筒, 铅直放在水中, 向下压后突 然放开, 浮筒 在水中上 下振动的 周期为 2 s ,求浮筒的质量 .
= Ce − x + 3 x 2 − 6 x + 6,
由 y | x =0 = 0,
得 C = −6,
−x
所求曲线为 y = 3( −2e
+ x − 2 x ).
2
例 3.设有一质 量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零 设有一质 的时刻起,有一个与运动方向一致 有一个与运动方向一致,大小与时间成正 的时刻起 有一个与运动方向一致 大小与时间成正 的力作用于它,此外还受 比(比例系数为 k 1 )的力作用于它 此外还受 比例 的力作用于它 的阻力作用,求质 一与速度成正比(比例 一与速度成正比 比例系数为 k 2 )的阻力作用 求质 的阻力作用 点运动的速度与时间的函数关系 .
【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用， 分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用， 列出关系式后再解微分方程即可。 列出关系式后再解微分方程即可。 【解1】 由题设，飞机的质量 】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时 ， 的水平速度 v0 = 700km / h 从飞机接触跑道开始记时， 时刻飞机的滑行 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行 距离为x(t)，速度为 根据牛顿第二定律， 距离为 ，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得 根据牛顿第二定律
例3 求方程
y(5) + y(4) + 2 y(3) + 2 y′′ + y′ + y = 0的通解 .
解 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
( r + 1)( r + 1) = 0,
2 2
特征根为 r1 = −1, r2 = r3 = i , r4 = r5 = − i , 故所求通解为
练习题答案
2、 一、1、 y = C1 + C 2 e 4 x ； 2、 x = (C1 + C 2 t )e ； 3、 3、 y = e − 3 x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ) ； 4、 4、 y = C1e 2 x + C 2 e − 2 x + C 3 cos 3 x + C 4 sin 3 x . 2、 二、1、 y = e ( 2 + x ) ； 2、 y = e 2 x sin 3 x . (提示 提示: 线性无关的解) 三、 y′′ − y′ = 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解) 四、 M = 195 kg.
r1， = −1± 2i , 2
故所求通解为
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
三、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法
y
特征根
(n)
+Py 1
(n−1)
+L+ P −1 y′ + P y = 0 n n
n−1
特征方程为 r + P r 1
n
y = C1e − x + (C 2 + C 3 x ) cos x + (C 4 + C 5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 （1）写出相应的特征方程 ）写出相应的特征方程; （2）求出特征根 ）求出特征根; 得到相应的通解. （3）根据特征根的不同情况 得到相应的通解 ）根据特征根的不同情况,得到相应的通解 (见下表 见下表) 见下表
mv0 9000 × 700 x( t ) → = = 1.05( km ). 6 k 6.0 × 10
v(t ) → 0时
所以，飞机滑行的最长距离为 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
如图所示， 例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0)截下的线段PQ之 截下的线段 之 长数值上等于阴影部分的面积, . 长数值上等于阴影部分的面积 求曲线 f (x) 解
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
−
x 2
5 t 2
微分方程的应用题
某种飞机在机场降落时， 例1. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距 在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞， 离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大 阻力，使飞机迅速减速并停下. 阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度 的飞机， 现有一质量为 的飞机 经测试，减速伞打开后， 为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总 阻力与飞机的速度成正比（ 阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k = 6.0 × 10 6 ). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？ 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？ 表示千克， 表示千米/小时 注: kg表示千克，km/h表示千米 小时 表示千克 表示千米 小时.
∫0
x
f ( x )dx = ( x − y ) ,
3 2
y
∫0
x
ydx = x 3 − y ,
2
Q
y = x3
两边求导得 y′ + y = 3 x , 解此微分方程
o
P
y = f ( x)
x
x
y′ + y = 3x
− dx
2
∫ C + 3 x 2 e ∫ dx dx y=e ∫
,
y2 = e
,
1 y1 = ( y1 + y2 ) = e αx cos βx , 重新组合 2 1 y2 = ( y1 − y2 ) = e αx sin βx , 2i
得齐次方程的通解为
y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx).
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
2. 有两个相等的实根 (∆ = 0)
p r1 x 特征根为 r1 = r2 = − , 一特解为 y1 = e , 2
设另一特解为 y2 = u( x )e r x ,
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
. 例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0的通解
解 特征方程为 解得
r 2 + 4r + 4 = 0 ,
r1 = r2 = −2 ,
y = (C1 + C 2 x )e − 2 x . 故所求通解为
. 例2 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得
高阶常系数齐次线性方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) + P y(n−1) +L+ P −1 y′ + P y = f ( x) 1 n n
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = 0
+L+ P −1r + P = 0 n n
对应的特解
rx k −1 rx
k重实根 r 重实根
αx
e , xe ,L, x
αx
rx
e
k 重共轭复 e cos β x , xe cos β x , L , x 根 α ± iβ
k −1 αx
e cos β x
e αx sin β x , xe αx sin β x , L , x k −1e αx sin β x
r1 x r2 x
2
思考题
′′ − ( y′ )2 = y 2 ln y 的通解 的通解. 求微分方程 yy
思考题解答
2 ′′ − ( y ′ ) yy ∴ = ln y , Q y ≠ 0, 2 y ′ y′ ′ y′ = ln y, Q (ln y ) x = , ∴(ln y)″ = ln y, y y
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
r1 x r2 x
2
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 特征方程法. 确定其通解的方法称为特征方程法 确定其通解的方法称为特征方程法.
dv m = − kv dt
又
dv dv dx dv = ⋅ =v dt dx dt dx
m 由以上两式得 dx = − dv k m 积分得 x ( t ) = − v + C . k
由于 故得 从而 当
v ( 0) = v0 , x ( 0) = 0
m v0 k
C=
m x ( t ) = ( v0 − v( t )) k