备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．

（1）当点N落在边BC上时，求t的值．

（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．

（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．

（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）

t=1或

【解析】

试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；

（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．

（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．

试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，

∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=；

（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，

∴PD=DQ，

当0＜t＜时，

此时，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合题意，舍去），

当≤t＜3时，

此时，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t

当点M在BC边上时，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如图①，当0≤t≤时，

S△PNQ=PQ2=t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，

如图②，当≤t≤时，

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，

∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等边三角形，

∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2

．

；

（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，

此时＜t＜，

t=1或．

考点：几何变换综合题

2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）S的最大值为，此时x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；

②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的

坐标．

（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．

（3）本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．

③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．

试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，

有题意可得：PQ∥AB，

∴△CQP∽△CBA，

∴

∴

解得：QP=x，

∴PM=3﹣x，

由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），

P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，

NC边上的高为，其中，0≤x≤4．

∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）

=﹣（x﹣2）2+．

∴S的最大值为，此时x=2．

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，

∴NQ=CQ=x．

∴3x=4，

∴x=．

②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，

∴x=；

③若CN=NP，则CN=4﹣x．

∵PQ=x，NQ=4﹣2x，

∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，

∴x=．

综上所述，x=，或x=，或x=．

考点：二次函数综合题．

3．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．

（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；

（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．

【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.

【解析】