概率论中心极限定理

设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
1 n
lim
B n
22 n i1
xi Bn (x i )2 pi (x)dx 0
林德贝格条件
则
lim
P
1
n Bn
n
(Xi
i 1
i )
y (y)
主讲：于红香
概率论
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
n
Xi n
证明？
lim P{ i1
y} ( y)
n
n
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
主讲：于红香
概率论
例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率?
概率论
概率论
4-4：中心极限定理
主讲：于红香
概率论
误差的产生由大量微小的相互独立的随机因素
n
叠加而成，若误差记为 Yn Xi i1
当n充分大时，其分布是我们所关心的问题。 用卷积公式可以计算，但无疑相当复杂，不易实现。 见书中例4.4.2，
分析上例的趋势，我们应该先将随机和先标准化。 再研究其分布是否为标准正态分布。
设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 > 0，满足：
E X 1 n
lim
B n 2 n i1
2
ii
0
李雅普诺夫条件
则
1 lim P n B
n
n
(X )
i
i
i 1
y ( y)
主讲：于红香
概率论
解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
由中心极限定理得，所求概率为：
P
200 i 1
Xi
20500
1
20500 200 100 200 100
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.
设供电量为y, 则从
P{15Y
y}
y /15 0.5 140
42
0.95
主讲：于红香
注 意 点 (2)
概率论
中心极限定理的应用有三大类：
i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
主讲：于红香
概率论
一、给定 n 和 y，求概率
例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一 个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
( 3.53) (6.85) = 0.99979
主讲：于红香
二项分布的正态近似
概率论
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充 分大时，有
k1
0.5 npq
np
Pn k Pk 0.5 n k 0.5
k
0.5 npq
np
k
0.5 npq
np
主讲：于红香
概率论
例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1)
P( X
主讲：于红香
概率论
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
n
Yn Xi i1
➢ 讨论独立随机变量和的极限分布,
➢ 并指出极限分布为正态分布.
主讲：于红香
概率论
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
lim
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sn
np
y
(
y)
n npq
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
主讲：于红香
注 意 点 (1)
概率论
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
Pk1 n k2 Pk1 0.5 n k2 0.5
k2
0.5 npq
np
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
1
85
0.5 9
90
0.966.
3,4,7
主讲：于红香
概率论 二、给定 n 和概率，求 y
例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
主讲：于红香
概率论
例2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
5)
C5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼二近项: 分布的近似原则：
P(X=当5当)p=n较pP>小(54时.时5，<，X用用<正泊5态.松5)分分布布近近5.似45似.9较5较5 好好 。； 4.45.955
= 0.1742
(3) 应用泊松逼近:
P(X=5) = 0.616-0.440=0.176
中解得 y 2252.
16,18
主讲：于红香
概率论 三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
P Yn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
17,20
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
主讲：于红香
概率论
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理