悖论

悖论
心形线
心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时
所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。

心脏线亦为蚶线的一种。

在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文
名称‚Cardioid‛是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为‚像心脏的‛。

心脏线
未有严谨证据证明心脏线是由笛卡尔发明。

关于心形线的爱情故事
《数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。

笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，
1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。

几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。

跟随前来通知的侍卫一起来到
皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。

从此，他当上了小公主的数学老师。

小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己研究的新领域
--直角坐标系。

每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后
勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里
斯汀公主也被父亲软禁起来。

笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直
没收到笛卡尔的信。

笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信
内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。

国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日
闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。

公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她
开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。

这也就是著名的
‚心形线‛。

是一颗心的形状。

弧线圆润地描绘着恋人之心的形态，最终又回归起始之点。

极简的公式，完整的循环，永恒的爱之絮语。

(人死)
真相
在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。

但笛卡尔是1649年10月4日应克里
斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。

笛卡尔与克里斯蒂娜谈论
的主要是哲学问题而不是数学。

有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔
只能在早晨五点与她探讨哲学。

笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。

网上搜索到的解法：
用的就是直角坐标图（实际上是极坐标系）关键是作为直角坐标系的发明者他那个时代怎么可能出现极坐标系和三角函数
当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a……A点
当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0……B点
当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a……C点
当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a……D点
将整个曲线图作出来，就是有名的心脏线！
r=a(1－sinθ)国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人间... (卒： 1650年2月11日)
悖论
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

悖论是命
题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主
体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次
与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。

悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。

产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻
辑普适性绝对化。

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

悖论与解悖只要运用对称逻辑，没有一个悖论无解。

[4-6] 悖论是表面上同一命题
或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

悖论的抽象公式就是：如
果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思
维结构、逻辑结构的不对称。

悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的
局限性。

产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。

用对称逻辑思维层次法解‚说谎者悖论‛这个悖论即‚我在说谎‛这句话中所蕴含
的悖论。

这个悖论表面上由‚我在说谎‛和‚我说实话‛这两个对立的‚命题‛组成，实
际上这两个‚命题‛并不等价——前一个命题包含思维内容，后一个‚命题‛只是前一个
命题的语言表达式，因此后一个‚命题‛不是严格意义上的命题。

长期以来人们之所以把
其看成悖论，是由于把两个‚命题‛看成等价，即都是思维内容和语言表达式统一的命题。

只要把思维的两大层次：命题的思维内容和命题的语言表达式区别开来，‚我在说谎‛这
个悖论即可化解。

因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法
的矛盾的集中表现。

具体地说，作为客观世界的一个部分或侧面，认识或理论(数学理论、语义学理论)的研究对象在本质上往往是辩证的，也就是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学或形式逻辑化的方法的限制，客观对象的这种辩证性在认识过
程中常常遭到了歪曲：对立统一的环节被绝对地割裂开来，并被片面地夸大，以致达到了
绝对、僵化的程度，从而辩证的统一就变成了绝对的对立；而如果再把它们机械地重新联
结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。

1－1 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：‚所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。

‛这就是这个著名悖论的来源。

《圣经》里曾经提到：‚有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’‛（《提多书》第一章）。

可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。

人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
1－2 ‚我在说谎‛
如果他在说谎，那么‚我在说谎‛就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。

矛盾不可避免。

它的一个翻版：
1－3 ‚这句话是错的‛
这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符。

这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。

这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。

他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：‚自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。

这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。

在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。

‛他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：‚那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。

事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。

只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。

‛（同上）罗素试图用命题分层的办法来解决：‚第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。

‛但是这一方法并没有取得成效。

‚1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。

‛（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。

但是他在书的序言里称这是：‚发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。

‛可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种‚反身的自指‛，就是说，‚它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。

‛这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。

但是在集合论里，问题并不这么简单。

1－4 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：‚我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。

‛有人问他：‚你给不给自己理发？‛理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。

有言在先，他应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能
排除内在的矛盾。

这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的，所以又叫‚罗素悖论‛。

这是
集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。

显然，这里也存在着一个不可排除的‚自指‛
问题。

1－5 集合论悖论
‚R是所有不包含自身的集合的集合。

‛人们同样会问：‚R包含不包含R自身？‛
如果不包含，由R的定义，R应属于R。

如果R包含自身的话，R又不属于R。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个‚不完全定理‛，打破了十九世纪末数学家‚所有的数
学体系都可以由逻辑推导出来‛的理想。

这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其
中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。

例如，欧氏几何中的‚平行线公理‛，
对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

1－6 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名
的书。

那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。

1－7 苏格拉底悖论
有‚西方孔子‛之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊
的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。

他建立‚定义‛以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。

但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十
岁的时候被当作诡辩杂说的代表。

在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底
也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。

苏格拉底有一句名言：‚我只知道一件事，那就是什么都不知道。

‛
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。

古
代中国也有一个类似的例子：
1－8 ‚言尽悖‛
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。

后期墨家反驳道：如果‚言尽悖‛，庄子的这个
言难道就不悖吗？我们常说：
1－9 ‚世界上没有绝对的真理‛我们不知道这句话本身是不是‚绝对的真理‛。

1—10柏拉图-苏格拉底悖论
柏拉图（Platon，Πλάτων，约前427年－前347年），古希腊伟大的哲学家，
也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，
学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。

柏拉图说：‚苏格拉底的下句话是错误的‛。

苏格拉底说：‚柏拉图说得对。

‛
不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。

两个句子都不是自我诠释，
但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。

1－11 ‚荒谬的真实‛
有字典给悖论下定义，说它是‚荒谬的真实‛，而这种矛盾修饰本身也是一种‚压缩的悖论‛。

悖论（paradox）来自希腊语‚para+dokein‛，意思是‚多想一想‛。

外祖母悖论
如果一个人真的“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母，
那么这个跨时间旅行者本人还会不会存在呢？这个问题很明显，如果没有他的外祖母就没
有他的母亲，如果没有他的母亲也就没有他，如果没有他，他怎么“返回过去”，并且在其
外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母。

这就是“外祖母悖论”。

对于“外祖母悖论”，物理界产生了“平行世界”(也叫“平行宇宙”)的说法。

这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世
界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络普及……如果将整个工业时代去掉，那至此以后的历史轨
迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另
外一个平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。

这个时候“外祖母悖论”就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外祖母，但这
将导致世界进入两个不同的（历史；或者说时间线）轨道，一条中有那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人。

根据平行世界的理论，每当记录下一个观测结论或者做出一个决定时，就会出现一个道路分支。

那当然，世界更寸步的分裂发生在量子层，即使原子中的一个电子从一个能量级变化至另一个能量级，或者说两个电子自旋的方向不一致也会导致不同的可能性发生而所有不同的可能性分裂出一个宇宙
密码
猪圈加密法
它的英文名是pigpen cipher。

在18世纪时，Freemasons为了使让其他的人看不懂他所写而发明的，猪圈密码属于替换密码流，但它不是用一个字母替代另一个字母，而是用一个符号来代替一个字母，把26个字母写进下四个表格中,然后加密时用这个字母所挨着表格的那部分来代替。

波雷费密码是于19世纪流行的一种采用座标系换字表的加密系统。

它采用以下的字母表作为座标系统：
A B C D E
F G H I/J K
L M N O P
Q R S T U
V W X Y Z
加密的方法是：
1. 把讯息分拆成一对对的字母，即字母对（digraphs）。

而字母对内之字母必须不同，相同时则在中间插入x、z或q等（选其一）较少用的字母。

如最后只剩一个字母，同样地，加入 x 等来组成字母对。

2. 从表中可看出，所有字母对可分成三类：两个字母在同一行，两个字母在同一列，或前述情况皆非。

3. 对明文加密时，若两个字母都在同一行就各自用右边的字母代替，如果右边没字了，则用同行开头（即最左边）的字母代替。

例如：lo变成MP，wz则变成XV。

4. 同样道理，对同一列的字母，则用其下方的字母取代，最底的则用同列最上方的字母取代。

例如：gr变成MW，jy则变了OD。

5. 至于遇到第三种情况时，则用另一种加密方法：取字母对中第一个字母所在的行，及第二个字母所在的列，它们所交汇出的字母就用来加密第一个字母；加密第二个字时，则取字母对中第一个字母所在的栏，及第二个字母所在的行所交汇出的字母为替身。

所
以， mt 会变成 OR ，而 by 则变成DW。

明文 minimize cheese cake
分解成字母对的明文 mi ni mi ze ch ex es ec ak ex
密码文 OG OH OG EK HN CZ AD EF CZ
可以看出，波雷费密码算不上十分强固，因为其虽然抹除了单个字母的频率特征，但掩盖不了明文内字母对的频率。

所以只要找出最常出现的字母对，再假定它们就代表了英文中最常用的几个字母对－th、he、an、in、er后，就能破解它了
TARDIS
TARDIS是英国科幻电视剧Doctor Who中的时间机器和宇宙飞船，它是时间和空间的相对维度（Time And Relative Dimension(s) In Space）的缩写。

新版第九季第八集中被释义为完全不受控制的在时空中穿行（Totally And Radically Driving In Space)的缩写。

7、TARDIS是无限大的，想要有多少大就能有多少大，完全可以说是另一个宇宙。

8、TARDIS可以感知所有时间，所有已发生的、未发生的、将发生的一切TARDIS 之心都能看见，所以在S6E04 《The doctor…s Wife》中成为人类形态的TARDIS用人类语言表达时说：“Oh,tenses are difficult,are't they?" “天哪，时态真难表达，不是吗？”。