一些关于高等数学第一章的思考

一些关于高等数学第一章的思考

高等数学是我们进入大学后接触的第一门课程，也是最基础和重要的课程之一，它会为我们以后的学习提供强有力的工具支持。因此，这也是我们必须学好的一门课程。

高数高数，听上去是很高的，但是有名人曾经说过，高等的并不一定是难得，相反，在高等的观点下，对于许多的问题，我们都会产生一些新的观念和理解，也就会有更多的工具去解决一些问题。但是，这首先需要的是高等数学的理论的严格的建立。历史上牛顿和莱布尼兹首先引入微分的概念，并且成功地用来解决了许多的问题，他们还发现了牛顿-莱布尼兹公式，亦即现在的微积分基本定理。但是，他们当时并不能很好地解释“无穷小”的概念，并且由此引发了数学史上的第二次危机。后来才通过柯西和威尔斯特拉斯的努力才建立起了微积分的严格基础。

既然如此，我想，学习高等数学的首要的原则变一定是严格，每一个定理的证明都必须通过严格的证明，而这一切的基础，我想就是关于实数体系的完备性定理，包括有限覆盖，波尔差诺-威尔斯特拉斯定理，柯西收敛定理，单调有界定理，区间套定理和确界定理。这一个系统建立起了严格的分析的基础，而这是几代人的心血，我们需要怀着虔诚的心来膜拜这些前人的贡献。

现在，刚刚结束了高等数学第一章的学习，由此产生了一些想法，总结了一些经验，在此写下。

一． 关于极限的思考

极限，是我们差不多进入大学以来接触的第一个全新的概念，但是，这，或许也是最难把握的概念之一。

前人的工作就似乎暗示了这一个概念的难以处理，但是，如今我们已经严格地定义了这一个概念，这或许是如今所有自然科学发展的基础。于是，我们认识了N ε-，εδ-语言，这是利用最严格的数学语言来描述的关于极限的定义。下面是我的对定义的一些感想：

1.极限是一种定义在实数集上的一种运算，或者说，实数对于极限运算是完备的，也就是说，利用极限和以前的运算及有

理数，我们可以构造出实数集。为什么要这么说呢，因为，这会让我们对某一些东西有更好地理解。比如：

2121122

2221111

1.lim1...(1)1

2.,1,1

3.lim(1)1114.lim1 (236)

n n n n n n n n n n r r r r r

x x x x x x x e n

n →∞+++→∞→∞++++=<-=+===

+=++++=设则π

等等。这里，有必要提一下狄利克雷定理：1

,,,c h N N h k Z m k N

∈∈∈-<对于任意的m Q 和存在使得

这里只对m>0做出证明：

[]{}

1

,(.0),.

=1

11211

),[,)...[,)

1,,() 1

n n n n n

i j i j

i j

k

h mk h k h mk

N N

h mk b h mk h mk

N

N N N N N

N b b b

b b

N

-<>-<

=≤=--<

-

+≥-<

原定理即证明：下面证明其加强命题：

令k=1,2,3,...N,N+1;相应的，取，则0

于是，我们将区间[0,1)分成N个区间[0,

那么，对于上面构造的个数，必定有两个落在同一个区间内,不妨设为b

则，我们有：

下面证明

0()()()()1

.

1

,.

i j i j

i j i i j j i j i j i j

i j

i j i j i j

i j

b b b

b b mk h mk h m k k h h mk h h

h h b b b

b

N

-

-

-

-

-=

≤-=---=---=--<

--=

<

事实上

但是，是整数所以，

于是，我们有命题得证

从这个有趣的定理可以看到，对于每一个自然数N我们总是可以找到一个有理数使得它与给定无理数的距离小于N的倒数，将这些找到的有理数排成一个序列，我们就可以对它进行极限的运算，于是，我们构造出了一个新的数（对于有理数集），这样，对于所有的无理数运用这个技巧，我们便构造出来了整个实数集。

2.对于函数的极限，我想，有一句话是最精辟的：任何类型的函数极限最后都可以归结为无穷小量。这句话一语点破了无穷小量存在的意义，也未我们的解题提供了一个较好的途径。原因在于：对于0左右的数，我们总是具有更多的工具去讨论它们。有这样一个经典的例子：

这里，我们将趋近于某一个定值改成了趋近于0，那么，到底，这又有什么方便呢？ 原因在于，我们已近对0附近的事物有了充分的了解，比如：11lim

0,lim 02n n n n

→∞→∞==或者，对于无穷小量的和又有一些了解比如：

无穷递缩等比数列等等。总的来说，我会把趋向于0的极限，及无穷小量，看成第三个重要极限，于是，不会做题时，就由三个极限

可以靠拢。

二． 几个关系

1．有界，极限，连续。

定理：设函数f(x)在点0x 处有极限，并且在某个领域内有定义，那么，在某个领域内f(x)有界。 证明从略。

从这个定理中我们可以看出，对于函数

f(x)，它有极限的条件强于它有界。

而对于一个在0x 处有极限的函数f(x)，如果有0

0lim ()()x x f x f x →=。那么，我们就说，函数f(x)在0x 处连续，这也就是说，f(x)连

续的条件强于f(x)有极限。

至于其运用，我们考虑，对于趋向于0x 的一个数列n x ，那么我们有： lim sin n n x →∞

=sin lim n n x →∞

，这不是显然的，而证明它需要运用

到连续函数的性质以及数列与函数的性质。我们构造一个函数f(x)=sinx,则f(x)在R 上连续，于是0

0lim sin sin x x x x →=，而由函数与数列的

关系，我们可以取数列n x ，便得到lim sin n n x →∞

=0sin x 。要注意，所有的一切都是建立在f(x)是连续函数这已重要的前提下的。

由上面的讨论，我们可以看到函数的连续性可以提供函数的极限的存在性，而函数的极限存在通常会和某数列的极限挂钩，于是，这就为我们提供了解决数列极限的一条道路。另外，函数极限的存在性还可以推出起在某一个领域内的有界性，而有界性的重要会在下面谈到。

2.函数与数列。

数列是函数的一种，但是这并不能完全地阐明数列与函数的密切关系，而数列与函数的密切关系是由一条定理阐明的：

定理：函数f(x)在0x 处有极限为L 的充要条件是对于任意的极限为0x 的序列n x ，其函数值构成的序列()n f x 的极限都是L. (这个定理后面还会加以讨论)。

利用这个定理，可以实现许多定理的证明，他们都是利用数列极限中一些好的性质来实现函数极限的性质的证明,比如柯西收敛定理的函数形式就是利用数列里的柯西收敛定理来推出的。再加上上面的例子，我们就能够感受到这个定理的强大。由于函数中我们有初等函数的连续性以及后面微积分的一整套工具的研究，我们可以利用许多方法来获取函数极限的信息，从而来获取某些数列极限的信息。当然，反过来有时也是能用的，不过我想主要是用来否定某一些结论，因为所有不好处理，而存在就比较有操作的价值。

三． 几种思想

1.反证法。

是一种思维的语言，丘成桐说现代数学与古代数学最大的差别就是反证法，我虽然不是特别同意（境界不够），但是反证法确实是人类思想的一种光辉，在我心目中，只有数学归纳法是可以与之匹配的。而如果不是借助反证法，或许就没有我们现在学习的微积分了，也就没有现在发达的科技，原因在于微积分的基础：实数理论和极限理论的许多重要的定理都是由反证法而得到的证明，比如：波尔察诺—威尔斯特拉斯定理，上面提到的数列与函数的重要关系定理，以及闭区间上连续函数的一些性质定理。这里我不加赘述，而最让我印象深刻的，便是数列与函数的重要关系定理，我当时花了许多脑筋还没有结果，后来想到了一个反证法。。。于是豁然开朗。 总结而来，我发现了一个规律：对于结论很强的命题，不会证明时可以考虑利用反证法，特别是全称性命题