十字相乘法分解二次三项式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
十字相乘法分解二次三项式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式
()()x
a b x ab x a x b 2
+++=++()进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax bx c 2++(a 、b 、c 都是整数,且a ≠0)来说,如果存在四个整数a c a c 1122,,,满足a a a c c c 1212==,,并且a c a c b 1221+=,那么二次三项式
ax bx c 2
++即()a a x a c a c x c c 122
122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122,,,,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知:x x 211240-+>,求x 的取值范围。
分析:本题为二次不等式,可以应用因式分解化二次为一次,即可求解。 解: x x 211240-+>
()()∴-->∴->->⎧⎨⎩-<-<⎧⎨
⎩
∴> 8083 或或 例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m 的值,并把这个多项式分解因式。 分析:应当把x 4分成x x 22⋅,而对于常数项-2,可能分解成()-⨯12,或者分解成 ()-⨯21,由此分为两种情况进行讨论。 解:(1)设原式分解为()()x ax x bx 2 2 12+-++,其中a 、b 为整数,去括号,得: ()()x a b x x a b x 432 22++++-- 将它与原式的各项系数进行对比,得: a b m a b m +=-=-=-1122,, 解得:a b m =-==101,, 此时,原式()()=+--x x x 2221 (2)设原式分解为()()x cx x dx 2221+-++,其中c 、d 为整数,去括号,得: ()()x c d x x c d x 43222++-+-- 将它与原式的各项系数进行对比,得: c d m c d m +=-=--=-1122,, 解得:c d m ==-=-011,, 此时,原式()()=--+x x x 2 2 21 2. 在几何学中的应用 例. 已知:长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ,且满足 x y x xy y --+-+=2 2 220,求长方形的面积。 分析:要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解: x y x xy y --+-+=22220 ()()()()()∴-+---=∴----=∴---+=x xy y x y x y x y x y x y 2 2 2 220 20 210 () ∴--=x y 20或x y -+=10 又 x y +=8 ∴--=+=⎧⎨ ⎩-+=+=⎧⎨ ⎩x y x y x y x y 208 108 或 解得:x y ==⎧⎨⎩53或x y ==⎧⎨⎩ 35 45.. ∴长方形的面积为15cm 2或634 2 cm 3、在代数证明题中的应用 例. 证明:若4x y -是7的倍数,其中x ,y 都是整数,则810322 x xy y +-是49的倍数。 分析:要证明原式是49的倍数,必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一:()()810323422 x xy y x y x y +-=+- ()2234647x y x y x y y +=+=-+ ∵4x y -是7的倍数,7y 也是7的倍数(y 是整数) ∴()223x y +是7的倍数 而2与7互质,因此,23x y +是7的倍数,所以810322x xy y +-是49的倍数。 证明二:∵4x y -是7的倍数,设47x y m -=(m 是整数) 则y x m =-47 又∵()()810323422x xy y x y x y +-=+- ()()()()∴+--+=-=-21221447714214923x x m x x m m x m m x m ∵x ,m 是整数,∴()m x m 23-也是整数 所以,810322x xy y +-是49的倍数。 4、中考点拨 例1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。 解:22224954y y x y x -- () ()() ()()() =--=-+=++-y x x y x x y x x x 2 4 2 2 2 2 2 2 45949112323 说明:多项式有公因式,提取后又符合十字相乘法和公式法,继续分解彻底。 例2. 因式分解:6752x x --=_______________ 解:()()67521352 x x x x --=+- 说明:分解系数时一定要注意符号,否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示 例1. 若x y m x y 2 2 56-++-能分解为两个一次因式的积,则m 的值为( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 解:()()x y m x y x y x y m x y 22 5656-++-=+-++- -6可分解成()-⨯23或()-⨯32,因此,存在两种情况: