单纯形法解题步骤

三、单纯形法的解题步骤

第一步：作单纯形表.

）（1）把原线性规划问题化为标准形式；

）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；

）（3）目标函数非基化；

）（4）作初始单纯形表.

第二步：最优解的判定.

(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取

得最优解.

(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划

问题无最优解.

如果以上两条都不满足，则进行下一步.

第三步：换基迭代.

，并确定所在列的非基变量为进基变量.

（1）找到最大正检验数，设为

（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.

主元是最大正检验数

所在列，用常数项与进基变量所对应的列向

量中正分量的比值最小者；

替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在

（3）换基：用进基变量

（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；

（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.

例3 求.

解（1）化标准型：令

，引进松弛变量

，其标准型为

求

（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中

的系数构成单位矩阵，故取

为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为

标函数取得最优值

.

目

性规划问题的最优解为：

.

原线

目标函数的最优值为14，即

.

例4 用单纯形方法解线性规划问题.

求

.

解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出

，

,

代入目标函数

, 经整理后，目标函数非基化了.

作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.

最大检验数

，由最小比值法知：

为主元，对主元所在列施以行初等变

换，基变量

出基，非基变量

进基.

表 6.9

目前最大检验数

，其所

在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.

例5用单纯形方法解线性规划问题.

求

解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取

为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出

，

,

代入目标函数，经整理得

,

目标函数已非基化.

作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).

最大检验数

，由最小比值法知：

为主元，对主元所在列施以行初等变

换，基变量

出基，非基变量x2进基，先将主元

化为1，然后再将主元所在列的

其他元素化为零.

表 6.10

至此，检验数均为非正数，故得基础可行解

.

原问题的最优解为：

.

最优值为6，即

.

如果我们再迭代一次，将基变量

出基，非基变量

进基（见表6.11）.

表 6.11

可得到另一个基础可行解

,

原问题的最优解为：

，最优值仍为6，说明该线性规划问题有

无穷多最优解，其最优解均为6.

如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？

这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.

（4） 0

1

1 0