函数曲线的凹向与拐点
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拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
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拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
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•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
•讨论
曲线yx4是否有拐点？
•提示 y4x 3 y12x 2
当x0时 y>0 在区间( )内曲线是凹的
因此曲线无拐点
例例56 求曲线 y 3 x 的拐点
解
y
3
1 3 x2
y
9x
2
3
x2
二阶导数无零点当x0时二阶导数不存在
例1 判断曲线yln x 的凹向性
解解 y 1 y 1
x
x2
因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y0
所以曲线yln x是下凹的
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定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形上凹 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形下凹 例2 判断曲线yx3的凹向性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0 因为当x0时 y0 所以曲线在( 0]内是下凹的 因为当x0时 y0 所以曲线在[0 )内是上凹的
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？ •提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点 在拐点(x0 f(x0))处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点
曲线的凹凸性定义1
设函数y f (x)在某区间内可导，若曲线弧位于其上
任意一点切线的上方，则称曲线y f (x)是上凹的，
若曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线
y f (x)是下凹的.
y
y
o
x
上凹
o
x
下凹
曲线的凹凸性定义2
设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称f(x)在I上的图形是凹的
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称f(x)在I上的图形是凸的
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹
凸性的关系 >>>
下页
定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形上凹 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形下凹
得x1 2
因为当 x 1 2
时
y0
当x 1 2
时
y0
所以点(
1 2
20 1 2
)是曲线的拐点
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•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
因为当x0时 y0 当x0时 y0
所以点(0 0)曲线的拐点
结束
例6 选择题
（1）函数f(x)在区间（a, b）可导，则f'(x)>0是函数f(x)在 (a, b)内单调增加的：
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）无关条件
解：选（A）
(|△x|很小)
解：选（D）
（4）设f(x)在(-∞, +∞)内存在二阶导数，且满足方程 xf"(x)+3x[f '(x)]2=1，若x=c（c≠0）是f(x)的极值点，则：
（A）当c<0时，x=c是极小值点
（B）当x>c时，f(x)是单调增加的
（C）当c>0时，x=c是极小值点
（D）当c>0时，x=c是极大值点
解：x=c为极值点，f '(c)=0
cf"(c)+3c[f '(c)]2=1
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•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
例3 求曲线y2x33x22x14的拐点
解 y6x26x12
y
12x6
12(x
1) 2来自令 y0
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
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拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
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•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
•讨论
曲线yx4是否有拐点？
•提示 y4x 3 y12x 2
当x0时 y>0 在区间( )内曲线是凹的
因此曲线无拐点
例例56 求曲线 y 3 x 的拐点
解
y
3
1 3 x2
y
9x
2
3
x2
二阶导数无零点当x0时二阶导数不存在
例1 判断曲线yln x 的凹向性
解解 y 1 y 1
x
x2
因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y0
所以曲线yln x是下凹的
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定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形上凹 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形下凹 例2 判断曲线yx3的凹向性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0 因为当x0时 y0 所以曲线在( 0]内是下凹的 因为当x0时 y0 所以曲线在[0 )内是上凹的
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？ •提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点 在拐点(x0 f(x0))处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点
曲线的凹凸性定义1
设函数y f (x)在某区间内可导，若曲线弧位于其上
任意一点切线的上方，则称曲线y f (x)是上凹的，
若曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线
y f (x)是下凹的.
y
y
o
x
上凹
o
x
下凹
曲线的凹凸性定义2
设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称f(x)在I上的图形是凹的
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称f(x)在I上的图形是凸的
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹
凸性的关系 >>>
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定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形上凹 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形下凹
得x1 2
因为当 x 1 2
时
y0
当x 1 2
时
y0
所以点(
1 2
20 1 2
)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
因为当x0时 y0 当x0时 y0
所以点(0 0)曲线的拐点
结束
例6 选择题
（1）函数f(x)在区间（a, b）可导，则f'(x)>0是函数f(x)在 (a, b)内单调增加的：
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）无关条件
解：选（A）
(|△x|很小)
解：选（D）
（4）设f(x)在(-∞, +∞)内存在二阶导数，且满足方程 xf"(x)+3x[f '(x)]2=1，若x=c（c≠0）是f(x)的极值点，则：
（A）当c<0时，x=c是极小值点
（B）当x>c时，f(x)是单调增加的
（C）当c>0时，x=c是极小值点
（D）当c>0时，x=c是极大值点
解：x=c为极值点，f '(c)=0
cf"(c)+3c[f '(c)]2=1
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•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
例3 求曲线y2x33x22x14的拐点
解 y6x26x12
y
12x6
12(x
1) 2来自令 y0