01-5(1) 第五章 应力状态分析 强度理论

2
例题：原始单元体如图示。试求：
50
1 ） . 30o 斜截面上的应力； 2） .主应力，主平面；
30 20
30
o
30
3） .最大剪应力。
o
解：写出各应力元素的具体数值
x 30 MPa, y 50 MPa, xy 20 MPa, 30o.
应力单位：MPa
研究应力状态的方法：截取单元体；施用截面法。
■ 截取单元体 从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）
单 元 体 受 力 特 征
dy
１．应力在每个侧面上均布； ２．相互平行的面上应力等值、 反向。
dz dx
■
原始单元体（各侧面应力已知的单元体）

M y Iz
梁 ■
QS z I zb
xy dA yx y

——应力乘以其作用的面积
二向应力状态的解析法
F
n
0:
( xy dAcos ) sin
t
x


n
dA ( x dAcos ) cos
( yx dAsin ) cos
xy dA yx y
xy dA yx


( yx dAsin )sin
y
( y dAsin )cos 0
( x y )sin cos xy cos 2 yx sin 2
整理得:
1 cos 2 1 cos 2 2 又三角公式： cos , sin 2 2
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面；
2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；
N A
4、画出单元体其他各面上的应力；
右视图
M
M M
T
T Wt T Wt
31o 43
§5–4 强度理论 一、引子： 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P M 低碳钢 铸铁拉伸 铸铁压缩 P
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。
x
y
y
y
τyx τxy
x
x
单向应力状态 ( Uniaxial Stress State )
定义：在一个单元体上，仅有 一个主应力不为0，则称该单 元体所代表的点处于单向应力 状态。
x
纯剪应力状态 ( Pure Shear Stress State)
定义：在一个单元体上，仅有 剪应力，而无正应力。则称该 单元体所代表的点处于纯剪应 力状态。
平 三 面 向 应 应 力 力 状 特例 状 特例 态 态
单向应力状态
纯剪应力状态
思考：在下面单元体上，应 力已知，则该单元体所代表 的点处于什么应力状态？ 50MPa
思考：纯剪应力状态，对 应于几向应力状态？
y
y
50MPa
50MPa
τy τx
x
x
§5-2 二向应力状态分析—解析法
如图所示原始单元体 取任意斜截面假想将单元体 分为两部分
x y tg 2 0 tg 2 , tg tg2 2 1 1 1 2 x 0 xy y
2 xy
0与1相差45o 推知: 2 0 与 2 1 相差90o ，
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
2 max max x min x y y 2 --- (3) max xy min 2 2 2
1). 30o 斜截面上的应力
30 50 30 50 30o cos 60o (20) sin 60o 52.32 MPa 2 2 30 50 60o sin 60o (20) cos 60o 18.66 MPa 2
2）主应力，主平面
max 30 50 62.4MPa 2 30 50 20 min 17.6MPa 2 2

轴
T Ip

N A
杆
施用截面法（用截面法找到特殊截面）
0的平面

M y Iz
QS z I zb
主平面
梁
主 平 面 上 的 正 应 力
主 应 力
１第一主应力 ２ 第二主应力 ３ 第三主应力
1 2 3
■ 应力状态概念的进一步说明 根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况
由 (2) 可表示出 sin20 、 cos20 代入 (1) 第一式， 得：
x y 2 2 max x y ( ) xy min 2 2
主方向： tg 2 0 2 xy
---（3）
x y
---（2）
主应力作用面与主方向配对法则:
2
xy 注意到：
yx


x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 xy sin 2
---（1）
y
sin 2 xy cos 2
t
其中:
,
---任意斜截面应力
x

n


--- 斜截面法向 n 与 x轴正向夹角 x , y , xy ---正截面应力

xy dA yx
x
y
1.主应力与主平面:
正应力的极值（极大、极小）
对(1)式第一式求导, 得:
yx x d x y y sin 2 2 ] 0 2[ cos cos 2 xy xy sin 2 d 2 2 2 x y x y cos 2 xy sin 2
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P P
z
P
max
M Wz M Wz
z
max

M y Iz
max
Q.S Z mFra Baidu bibliotekx
IZb
QS z I zb
l
S
F
a
• (3)式中两式相加: 2 max x y 2 2 --- (4) max xy y x xy y 2 min maxx min ---（3） 2 xy min 2 2
x y 2 2 max x y 主应力： ( ) xy min 2 2 2 xy 主方向： tg 2 0 x y
45o : max ;
45o : min ;
2.平面主剪应力: 剪应力的极值（极大、极小）
说明:
破 坏面 与 受 力 方向可能不一致。
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
过一点处不同方向面上的应力(正应力和切应力)可以有 不同的组合形式。 研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律， 以确定最大正应力σmax和最大剪应力τmax 。
dF dN dQ , , 应力是定义在“点”上的 p dA dA dA 材料力学中的“点”是物理点,不是几何点, 有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元 体。 单元体很小，可以认为:
(1)各个面上的应力均匀分布；
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。
■ 基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
§5–1 应力状态的概念 §5–2 §5–4 平面应力状态分析——解析法 强度理论
§5-1(1) 应力状态的概念
■ 问题的提出


P


P


2
T M 弯曲: y 扭转 : Iz Ip
应力随点的位置变化

cos

2 sin 2
应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
z
zy yz
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
二向（平面）应力状态 Biaxial ( Plane) Stress State
z 0 yz 0
y
x
yx
zx 0
定义：在一个单元体上， 两个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于二向应力状态。
xy

( y dAsin ) sin 0
x cos 2 y sin 2 ( xy yx )sin cos
二向应力状态的解析法
F 0:
t
t

x

n
dA ( x dA cos )sin
( xy dAcos )cos
y
1 4
z
2
3
x
S平面应力分析
y
y
1
Mx 1 Wt
x
Mz Wz
4
1 4 2
Mz
Mx 4 Wt
x
1
x
z
z
3
Mx
3
Mz x Wz
3
Mx 3 Wt
§5-1(2)二向和三向应力状态的概念
三向（空间）应力状态
( Triaxial
Stress State )
z
定义：在一个单元体上， 三个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于三向应力状态。
y
x
x


xy

y
xy
y

dA cos
dA

dA sin
xy
x
x

y
xy

二向应力状态的解析法
单元体局部的平衡方程 —— α角的斜三角微元的平衡
量的符号规定：
1、α：沿X轴逆时针转到截面 的外法线方向为正。
t
x


n
2、σ：拉正、压负。
3、τ：沿单元边界，顺时针绕 单元为正。 参加平衡的量
对(1)式第二式求导,经推导得:
x y ---（4） tg 21 2 xy
---（5）
x y 2 2 max ( ) xy min 2
说明:
(1) 出现主剪应力的两个面相互垂直。 (2) 主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。
讨论: •由(2)和(4)可知:
(1) 将原单元体上的剪应力等效汇合成两对流出和 流入的剪应力流。
(2) 最大主应力 σmax的作用面偏向于流出的剪应力 流方向。
例：纯剪切应力状态及其主应力

等价流出的剪 应力流方向
等价流入的剪 应力流方向
xy , x y 0
等价流入的剪 应力流方向
等价流出的剪 应力流方向

拉中有剪



剪中有拉


根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的不同方向面上 的应力一般是不相同的。这便是应力的截面方位的概念。
小结：一点的应力状态: 通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不 同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方 位的函数。 通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该 点的应力状态。
2
2 (20) tg 2 0 2, 30 50 31o 43 0 o 58 17
因为最大主应力σmax的作用面偏向 于流出的剪应力流方向,可作图
2
50
1
2
2 0
58o17
3 0
max
2 30 50 20 22.4 MPa 2

2 x y 2 2 sin 2 xy cos 2
---（1）
单元体上剪应力为零的平面，称为主平面； 该面上的正应力称为主应力。
得： tg 2 0 2 xy
x y
---（2）
由(2)可解出: 0 相差90o的两个根，说明：
出现主应力的两个面相互垂直。
例：讨论单向应力状态



x , y xy 0


x
2 2
o

x
2
cos 2 x cos 2
x
sin 2
45 :

2
, max

2
; ;
45 :
o

2
, min