八下图形与证明(一)复习

司徒中学 陈志军
已知：如图，已知AD是 已知：如图，已知AD是△ABD AD ACD的公共边 和△ACD的公共边 求证： 求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
A
B
D C
你还有其他方法解决这个问题吗? 你还有其他方法解决这个问题吗
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随堂练习
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A
证明:等边对等角． 证明 等边对等角． 等边对等角
三角形内角和等于180° 三角形内角和等于 ° 推论
三角形的一个 外角等于和它 不相邻的两个 内角的和 三角形的一个 外角大于任何 一个和它不相 邻的内角
直角三角形 两锐角互余
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回顾与思考
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学好几何的标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤: 证明命题的一般步骤
根据命题，画出图形； 根据命题，画出图形； 根据命题，结合图形，写出已知、求证； 根据命题，结合图形，写出已知、求证； 写出证明过程． 写出证明过程．
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
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回顾与思考
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三角形内角和定理
如图. ∠1是△ABC的一个外角 ∠1与图中的其它角有 如图. ∠1是 的一个外角, ∠1与图中的其它角有 的一个外角 什么关系? 什么关系? A 2
3 B
4 1 C
D
∠1+∠4=1800 ; 1+∠4= ∠1=∠2+∠3； ∠1=∠2+∠3； ∠1>∠ 2； 2； 3． ∠1>∠ 3．
条件: 一个三角形的两条边相等; 条件 一个三角形的两条边相等 结论: 它们所对的角也相等. 结论 它们所对的角也相等 已知:如图， 已知 如图，△ABC中，AB=AC， 如图 中 ， 求证∠ ∠ 求证∠B=∠C.
Ｄ 你能把命题中的条件和结论互换, 构造一个新的命题吗? 你能把命题中的条件和结论互换 构造一个新的命题吗 你构造的命题是真命题吗？为什么？ 你构造的命题是真命题吗？为什么？
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对于命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 对于命题“不相等的两个角不可能是对顶角”
条件： 条件： 结论： 结论：
两个角不相等 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果 的形式： 改写成“如果……，那么 ，那么……”的形式： 的形式
如果两个角不相等， 如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角
B
C
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在四边形ABCD中,有以下几个事项： 中 有以下几个事项 有以下几个事项： 在四边形 （１） AB∥CD ∥ （２） ∠B=∠D ∠ （３） AD∥BC ∥
A B D C
请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论， 请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论， 构造一个命题． 构造一个命题． 你构造的命题是真命题吗？为什么？ 你构造的命题是真命题吗？为什么？
B C N
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如图： 内的任意一点， 如图：在△ABC中，P是△ABC 内的任意一点， 中 是 有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 与 有怎样的大小关系 说说你的理由。 A 拓展3 拓展
P B C
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如图： 三等分线的交点， 如图：在△ABC中，P，Q是∠ B 、∠ C三等分线的交点， 中 ， 是 三等分线的交点 有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠BQC 与∠ A有怎样的大小关系？ 与 有怎样的大小关系 说说你的理由。 说说你的理由。 A 拓展4 拓展 P Q B C
§11 . 图形与证明刃剑” a a b b
a bc
d
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同位角相等，两直线平行． 同位角相等，两直线平行． 基础知识 ，同位角相等． 两直线平行， 两直线平行 同位角相等． 真命题 假命题 举反例 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 观察.实验 三边对应相等的两个三角形全等． 实验.操作 观察 实验 操作 三边对应相等的两个三角形全等． 逆命题 原命题 判断正误 说理 同位角相等, 同位角相等 两直线平行. 两直线平行
如图： 外角的角平分线的交点， 如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分线的交点， 中 是 外角的角平分线的交点 有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 与 有怎样的大小关系 说说你的理由。 A 拓展1 拓展
B
C
P
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如图： 如图：在△ABC中，P是∠ B的角平分线 和 中 是 的角平分线 外角的角平分线的交点， ∠ C外角的角平分线的交点， 外角的角平分线的交点 有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 与 有怎样的大小关系 说说你的理由。 拓展2 拓展 A P
A
E
E
2 B C
1 D
B
C
A
E
A
F
F E
B
C
B
D
C
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三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A+∠C=1800-∠B.
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探索研究1 探索研究
（1）如图 甲)，在五角星图形中， ）如图(甲 ，在五角星图形中， 的度数。 求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。 的度数
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角 ）把图（ ）、（丙 叫蜕化的五角星， 星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ 星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ A
内错角相等,两直线平行 内错角相等 两直线平行. 两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 同旁内角互补 两直线平行.
命题
定义 基本事实
两直线平行, 两直线平行 同位角相等. 同位角相等
两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等. 内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补.
证明 定理
A E B
D M F C P
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探索研究3 探索研究
如图： 角平分线的交点， 如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线的交点， 中 是 角平分线的交点 有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 与 有怎样的大小关系 说说你的理由。 A
P B C
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”的定义; 的定义
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命题:判断一件事情的句子,叫做命题. 命题由条件和结论两部分构成． 正确的命题称为真命题, 不正确的的命题称为假命题.
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随堂练习
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下面的句子哪些是命题? 下面的句子哪些是命题
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强； 每单位面积所受到的压力叫做压强； （2）如果a是实数，那么a2+1〉0； 如果a是实数，那么a +1〉 （3）两个无理数的乘积一定是无理数； 两个无理数的乘积一定是无理数； （4）偶数一定是合数吗？ 偶数一定是合数吗？ （5）连接AB； 连接AB； AB （6）不相等的两个角不可能是对顶角
（3）两个无理数的乘积一定是无理数； 两个无理数的乘积一定是无理数；
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例题欣赏
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已知:如图 平分∠ 已知 如图6-13,在△ABC中,AD平分∠EAC, 如图 在 中 平分 AD∥BC. ∥ 求证:∠ 求证 ∠B= ∠C.
E
A
１ ２
D
B
C
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回顾与思考
A
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三角形内角和定理
D F E B P C
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延伸拓展 如图， 延长线上的一点， 如图，在△ABC中，AB=AC, P是BC延长线上的一点，PE ⊥ AB, 中 是 延长线上的一点 PF ⊥ AC, 垂足分别为 垂足分别为E,F, BD是等腰三角形的腰 上的高。 是等腰三角形的腰AC上的高 是等腰三角形的腰 上的高。 试再探索BD , PE , PF 三者关系。 三者关系。 试再探索 A
M
D′
A′
C′
B′
N
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E
D C
B
F
P
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拓展延伸 如图， 等腰梯形 上的一点， 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC, P是BC上的一点， 中 是 上的一点 PE ⊥ AB,PF ⊥ AC, 垂足分别为 垂足分别为E,F, BM是腰 上的高。 是腰DC上的高 是腰 上的高。 试再探索BM , PE , PF 三者关系。 三者关系。 试再探索
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探索研究4 探索研究 已知，如图： 已知，如图：AB ∥ CD 探索 ∠ E 与 ∠ B 、∠ D 的关系 A E C ① A E D C A ② D B B A B E
B
C ③
D
C
E ④
D
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如图：过平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D 分别向直线MN引垂线， 垂足为A ′, B ′,C ′, D ′. 求证： AA ′+C C ′ = B B′+D D ′ A O D C B
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A
D
如图，在△AFD 和△CEB中，点A,E,F,C在 △ 中 在
E F B C
同一直线上，下面有 个判断 个判断： 同一直线上，下面有4个判断： ①AD=CB ③ ∠ B= ∠ D ②AE=FC ④AD ∥BC
请用其中的三个事项作为已知条件， 请用其中的三个事项作为已知条件，余下一个事项作为 结论，构造一个命题． 结论，构造一个命题． 你构造的命题是真命题吗？为什么？ 你构造的命题是真命题吗？为什么？
A B
A E E B (乙) 乙
D D C B (丙) 丙 C
E
C
(甲) 甲
D
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探索研究2 探索研究 如图， 上的一点， 如图，在△ABC中，AB=AC,P是BC上的一点，PE ⊥ AB, 中 是 上的一点 PF ⊥ AC, 垂足分别为 垂足分别为E,F, BD是等腰三角形的腰 上的高。 是等腰三角形的腰AC上的高 是等腰三角形的腰 上的高。 试探索BD, PF, PE三者关系 试探索 三者关系 A
注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 检查表达过程是否正确,完善 完善。 检查表达过程是否正确 完善。
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对名称或术语的含义进行描述，做出规定， 对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出 定义. 他们的定义 他们的定义. 例如： 例如： 符号不同、绝对值相等的两个数”是 互为相反数 “符号不同、绝对值相等的两个数 是“ _______”的定 “能够完全重合的图形”是“全等形 的定 能够完全重合的图形” 义． 无理数： 无限不循环小数叫做无理数. 无理数： 无限不循环小数叫做无理数 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.