海伦公式的几种证明与推广(简洁)
八年级数学海伦公式
海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC 的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS-p=--ppbpa1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c=+bap+2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。
亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
亚历山大里亚的海伦（希腊语：ἭρωνὁἈλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 四、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册 五、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
海伦公式详细推导过程
海伦公式详细推导过程咱们来说说海伦公式，这可是个有趣又实用的数学知识。
你想想看，要计算一个三角形的面积，一般咱都知道底乘以高除以2 对吧？可要是只知道三角形的三条边长度，那该咋算面积呢？这时候海伦公式就派上用场啦！海伦公式长这样：S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] ，这里面的 a、b、c 就是三角形三条边的长度，而 p 呢，等于 (a + b + c) / 2 。
那它是咋推导出来的呢？咱们一起来瞅瞅。
咱先假设三角形的三条边分别是 a、b、c ，然后从三角形的一个顶点向对边作一条垂线，把这个三角形分成两个直角三角形。
这是不是有点像把一个大蛋糕切成了两块？设这条垂线的长度是 h ，那根据勾股定理，在其中一个直角三角形里，就有 h² = a² - x²，在另一个直角三角形里，就是 h² = c² - (b - x)²。
这两个式子一联立，是不是就有点眉目啦？经过一通推导，就能得出h = √[a² - x²] ，又能得出h = √[c² - (b - x)²] ，那这两个式子相等，再一通计算，就能慢慢接近海伦公式啦。
这过程就像解谜一样，一步一步，越来越清晰。
你说要是没有海伦公式，遇到只知道三边长度求面积的情况，得多头疼啊？所以说，海伦公式可真是数学世界里的一个宝贝，让咱们计算三角形面积的时候方便了好多。
它的推导过程虽然有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就能搞明白其中的奥秘。
这不就像咱们爬山，虽然过程有点累，可一旦到了山顶，看到那美丽的风景，一切都值啦！总之，海伦公式就是这么厉害，学会了它，解决三角形面积问题就不在话下啦！。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
1. 直角三角形海伦公式的证明：
令直角三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为直角边的长度，则有：
c^2=a^2+b^2
令三角形ABC的外接圆的半径为R，则有：
R=a+b+c/2
由此，可以推出：
R^2=(a+b+c/2)^2=a^2+2ab+b^2+c^2/4=a^2+2ab+b^2+c^2/4 即：
R^2=a^2+b^2+2ab
两边同时乘以4，得：
4R^2=4a^2+4b^2+8ab
即：
4R^2=(2a+2b)^2
即：
R^2=(a+b)^2
由此可以得到海伦公式：
c^2=a^2+b^2-2ab
2. 直角三角形海伦公式的推广：
（1）等腰三角形海伦公式：
设等腰三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（2）等腰梯形海伦公式：
设等腰梯形ABCD的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（3）等边三角形海伦公式：
设等边三角形ABC的斜边长为c，其中a分别为等边的长度，则有：
c^2=3a^2-2ab。
高中数学必修3海伦公式的证明方法
高中数学必修3海伦公式的证明方法海伦公式的证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1]cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式的证明⑵中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
海伦公式最简单推导
海伦公式最简单推导海伦公式，又称为毕达哥拉斯解等式，是一种经典的几何方程，精准的计算三角形的面积和周长。
海伦公式由古希腊数学家毕达哥拉斯最早提出，后来被古罗马数学家海伦因其被用在几何的集中研究而得名。
首先，我们需要了解海伦公式的具体内容，它是由一个三角形的三条边a，b，c所构成。
两边（a，b）两角（α，β）所构成一个平面三角形，第三边（c）一边是它的高，另外一边是它的斜边。
根据海伦公式的结构，可以得出S和L的公式：S = ab sinC / s = 1/2(ab sinC），L=a + b+c 。
其次，我们来看一下海伦公式的推导过程，首先，先画出三角形，可以看出其中包含三个角，分别是α，β，γ。
通过对此三角形施加正弦定理,sinα/a=sinβ/b=sinγ/c。
然后把三角形内上下两个角Δαγ 和ΔΒγ画出来，由正弦定理可以得出sinα/a×a×sinγ=sinβ /b×b×sinγ，也就是a×sinγ=b×sinα。
根据余弦定理，把α，β变成cos值，则cosα/a×a×cosγ=cosβ/b×b×cosγ，也就是a×cosγ=b×cosα，同时由正弦定理和余弦定理，可以得出b×cosα+a×cosγ=a+b+c，根据此式可以得到L=a+b+c，将L插入到上面的公式中，可以得出S=1/2Lsina，即海伦公式。
最后，无论是求三角形面积还是求三角形周长，海伦公式（a2+b2-2abcosγ）都能帮助我们完美的解决其中的任务。
在解决几何的问题中，它是一种重要的方法。
不仅如此，海伦公式还广泛应用于动力学、量子物理学等科学领域。
它是现代数学的一大经典，也是学习几何的重要准则。
如何推导海伦公式
推导海伦公推导方法
海伦公式（Heron's formula）是用于计算任意三角形面积的公式，它仅基于三角形三边长度而不依赖于高或角度。
推导过程如下
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足不等式a <= b <= c，令p为三角形半周长,公式如下：
依据海伦的思路，首先需要构造一个与原三角形有相同周长的矩形，其宽等于较小的两边之和减去较大边的一半,公式如下：
然后找到合适的高度h，使得矩形的面积S'等于三角形的面积S。
利用相似三角形的性质可以得出这个高度h，进而得到矩形面积的一个表达式。
通过类似的步骤，我们可以找到另外两个矩形，并结合它们的面积来构建一个代数方程，解这个方程就能得到三角形面积的公式,公式如下：
s=√p(p−a)(p−b)(p−c)
应用案例：
假设有一个三角形，其三边长分别为a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm。
我们首先通过公式计算半周长p：
接下来应用海伦公式计算面积S：
S = √p(p−a)(p−b)(p−c)
= √6(6−3)(6−4)(6−5)
= √6∗3∗2∗1
= 6。
海伦公式几种证明方法
海伦公式几种证明方法海伦公式是用于计算三角形面积的一种公式，公式为：面积S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三边长度，s是半周长，即s=(a+b+c)/2以下是几种证明海伦公式的方法。
1.利用矢量运算法证明海伦公式：首先，将三角形的三个顶点用向量表示，分别为A、B、C。
然后，利用向量的性质计算向量AB、BC和CA的模长，即三边的长度。
接下来，计算向量AB和BC的叉乘，得到一个新的向量P。
最后，利用向量的模长和叉乘的结果，计算三角形的面积S，即S=1/2*，P。
2.利用三角形的高进行证明：设h_a、h_b和h_c分别为三角形的三条高，分别与边a、b和c对应。
根据三角形的面积公式S=1/2*a*h_a，我们可以得到以下三个等式：S=1/2*a*h_aS=1/2*b*h_bS=1/2*c*h_c将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*h_a+b*h_b+c*h_c)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3.利用三角形内切圆进行证明：内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
设内切圆的半径为r。
根据圆的性质，可以得到以下三个等式：S=1/2*a*rS=1/2*b*rS=1/2*c*r将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*r+b*r+c*r)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
以上是三种常见的证明海伦公式的方法。
这些证明方法均可以通过基本的几何性质和定理进行推导，从而得到海伦公式。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(21c b a p ++=，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441c b a b a -+- =44422222222241c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 21=和余弦定理C ab b a c cos 2222-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2cos 121-=2222)2(121abc b a ab -+-下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==海伦公式证明篇一：海伦公式及其证明方法海伦公式及其证明方法海伦公式：1??=，其中??= ??+??+??如图在△ABC中，过A作高AD交BC于D 设BD = x，那么DC = a-x由于AD是△ABD、△ACD的公共边?2=??2???2=??2? ????? 2解出x得??2???2+??2??= 于是2???2+??2???= ??2? 2△ABC的面积2???2+??211????=???=??? ??2?2即122??2+??2???2??= ?????令1??= ??+??+?? 对被开方数分解因式，并整理得到??=得证 2篇二：海伦公式的证明证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
三角形海伦面积公式证明
三角形海伦面积公式证明三角形海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，它由古希腊数学家海伦提出。
海伦公式可以表达为：面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，s是三角形三边长的半周长，也可以表示为s = (a + b + c) / 2，a、b、c是三角形的三条边长。
证明海伦公式：为了证明海伦公式，我们可以利用向量运算和三角形的高来计算面积。
首先，我们可以将三角形的一个顶点作为原点，通过向量表示其他两个顶点。
假设这两个向量分别为A和B。
然后，我们可以计算向量A和向量B的叉积。
叉积的大小表示两个向量所形成的平行四边形的面积的两倍。
即：向量A ×向量B = |A| * |B| * sinθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A 和向量B的夹角。
接下来，我们可以使用三角函数的性质，计算出夹角θ，即：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积。
由于叉积的大小等于平行四边形面积的两倍，我们可以将上述等式变形为：面积= |A| * |B| * sinθ / 2= √((|A|^2 * |B|^2) * (1 - cos^2θ) / 4)= √((a^2 * b^2 * (1 - cos^2θ)) / 4)= √((a^2 * b^2 * (1 - ((a^2 + b^2 - c^2) / (2ab))^2)) / 4)= √(((a + b + c) * (a + b - c) * (b + c - a) * (c + a - b)) / 16)上述等式中，我们使用了余弦定理将cos^2θ替换为(a^2 + b^2- c^2) / (2ab)。
同时，我们还将每个分子内的平方进行了合并和分解。
进一步化简该等式，可以得到海伦公式：面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))这证明了海伦公式的正确性。
海伦公式的证明方法
海伦公式的证明方法海伦公式的证明介绍海伦公式是解决三角形面积的一个重要公式，可以通过三个边长来计算三角形的面积。
本文将详细介绍海伦公式的证明过程，并列举各种证明方法。
方法一：利用三角形的高度1.假设三角形的边长分别为a，b，c。
2.设三角形的高分别为h1，h2，h3，分别由边a，b，c所对应的高。
3.利用三角形的高度关系，我们可以得到公式h1 = 2 * S / a，h2= 2 * S / b，h3 = 2 * S / c，其中S为三角形的面积。
4.将上述公式带入等式，得到 h1 + h2 + h3 = 2 * S / a + 2 *S / b + 2 * S / c = 2S(a + b + c) / abc 由此可得 S =(abc) / (2(a + b + c))，即为海伦公式。
方法二：利用三角形的面积公式1.根据三角形的面积公式S = sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
2.可以将该面积公式带入等式，并进行简化运算，推导得到海伦公式。
方法三：利用余弦定理1.根据余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中C为三角形的夹角。
2.将cos(C)用海伦公式中的三个边长带入，得到 cos(C) = (a^2 +b^2 - c^2) / 2ab。
3.将cos(C)带入三角形的面积公式 S = 1/2 * a * b * sin(C)，并利用sin^2(C) = 1 - cos^2(C)进行变形，可得 S =sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，即为海伦公式。
方法四：利用向量法1.假设三角形的顶点分别为A，B，C。
2.对边向量AB和AC作向量叉乘得到一个面积向量，其模长即为三角形的面积的2倍。
3.根据向量叉乘的性质，可以得到该面积向量的模长为|AB ×AC| = * |AB| * |AC| * sin(∠BAC)。
海伦公式及其证明方法
海伦公式及其证明方法海伦公式是一个三角形的面积与边长之间的关系公式，它由古希腊数学家海伦提出，广泛应用于各种几何问题的求解中。
本文将介绍海伦公式及其证明方法。
首先，我们来看一下海伦公式的表达式：假设有一个三角形，其三边长度分别为a、b、c，海伦公式可以表示为：s=(a+b+c)/2其中s为半周长，即三边长度之和除以2三角形的面积可以用海伦公式表示为：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))接下来，我们将通过一个简单的证明来验证海伦公式。
证明：假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，半周长为s，高为h。
我们知道，三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算，即：面积=1/2*b*h三角形的高可以由海伦公式推导出来，可以用边长表示如下：h=2*(面积/b)将面积代入上式，我们可以得到：h=2*(1/2*b*h/b)=h这是一个平凡的等式，表明三角形的高与边长之间是相等的。
现在我们将这个等式代入到另一个三角形ABC的面积计算公式中：面积=1/2*a*h将h代入，我们得到：面积=1/2*a*(2*(1/2*a*h/a))=a*(1/2*h)同样的，我们可以用边长b代入面积公式：面积=b*(1/2*h)将两个表达式相加面积=a*(1/2*h)+b*(1/2*h)=(1/2*h)*(a+b)=1/2*(a+b+c)*(1/2*h)这里我们可以将a+b+c除以2进行化简，得到：面积=(a+b+c)/2*1/2*h=s*1/2*h=s*r其中r为三角形的内切圆半径。
综上所述，我们可以得出海伦公式：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))海伦公式的证明就完成了。
它提供了一种方便快捷的方法，通过已知三边长，我们可以计算出任意三角形的面积。
除了上述的几何证明方法外，还有数学分析的证明方法来验证海伦公式，但这种方法相对较为复杂。
这里我们不做详细展开，以保持文章的简洁性。
总结：海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它通过三角形的边长来计算。
海伦公式的证明(完整版)
海伦公式的证明海伦公式的证明第一篇：海伦公式的证明与海伦在他的著作 metria ^2-b ^2]tana2tanb2tan2=ptana2tanb2tan2=r∴p^2r^2tana2tanb2tan2=pr^3∴s^2=p^2r^2=∴s=√p第四篇：求三角形面积——海伦公式证明：海伦公式：若δab的三边长为a、b、，则sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））42啊，多此一举！)证明：设边上的高为 h,则有√＋√=√=－√两边平方，化简得：2√=b^2+^2-a^2两边平方，化简得：h=√^2)sδab=h2=√^2)2仔细化简一下，得：sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））4用三角函数证明！证明：sδab=absin2=ab√^2)2————（1）∵os=∴代入（1）式，（仔细）化简得：sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））4第五篇：公式及证明初中数学几何定理1。
同角（或等角）的余角相等。
2。
对顶角相等。
3。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
4。
在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
5。
同位角相等，两直线平行。
6。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
7。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
8。
在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
及其逆定理。
9。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
夹在两条平行线间的垂线段相等。
10。
一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
11。
有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
12。
菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13。
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
三角形面积海伦公式的推广及其应用
三角形面积海伦公式的推广及其应用
海伦公式是一种用于计算三角形面积的公式，当已知三角形三边长而不知道高时，可以使用海伦公式来简便地求出面积。
海伦公式的表达式为：S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，其中p 是半周长，即p = (a + b + c) / 2。
这个公式的特点是形式简洁，便于计算，特别是在测量土地面积时，只需知道边长即可计算出面积，无需测量高度。
海伦公式的推广及其应用主要体现在以下几个方面：
1. 多边形面积计算：海伦公式不仅可以用于三角形，还可以推广到多边形的面积计算中。
通过将多边形分割成多个三角形，然后分别应用海伦公式计算每个三角形的面积，最后将它们相加即可得到多边形的总面积。
2. 圆内接四边形：在有关圆内接四边形的题目中，海伦公式的推广可以直接应用，简化计算过程，提高解题效率。
3. 几何证明：海伦公式的推导和证明过程中涉及到余弦定理等几何知识，这些知识在解决其他几何问题时也非常有用。
4. 实际测量：在实际的土地测量、建筑设计等领域，海伦公式的应用可以帮助工程师快速准确地计算不规则形状的面积，从而提高工作效率和准确性。
综上所述，海伦公式不仅在数学领域有着重要的地位，其推广和应用也在工程实践和科学研究中发挥着重要作用。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(21c b a p ++=，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441c b a b a -+- =44422222222241c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 21=和余弦定理C ab b a c cos 2222-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2cos 121-=2222)2(121abc b a ab -+-下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
海伦公式的证明及两个推论
海伦公式的证明及两个推论作者：张浩来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第09期[摘要] 高中数学教师在教学中容易轻视教材，把资料书作为教学的核心素材，这种做法明显欠妥. 笔者运用教材中“海伦和秦九昭”的阅读内容，激发学生的探知欲望，提高学生数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.[关键词] 海伦公式；秦九昭公式；三角形面积笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版，在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考，往往未受到教师和学生的重视. 但是，此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料，甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.海伦—秦九昭公式在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到公式S= ，其中p= （a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式. 其实，我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”，秦九韶的算法相当于：S= ，其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者是完全等价的，实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.海伦公式的证明笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容，并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.方法1：△ABC的三边长分别为a，b，c，则有三角形的面积公式可得S= absinC= ab ，再由余弦定理可得S= ab化简得S= ，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.方法2：如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c，AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB= ，所以，AD2=AB2-BD2=c2- .由于S= ·BC·AD= a· = ，可由平方差公式化简可得S= ·，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.点评：学生以上的两种种证明方法思路简单，利用所学求三角形面积的基本知识，以及余弦定理，将角度转化为边长，这样可以使得最后推证的公式中无角度，只存在边长，化简过程较复杂，需要学生细致、耐心的计算，有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部，根据三角形知识可知，若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高，则此时高AD则会在三角形的外部（如图2），那么此时BD=ccos（π-B）= ，也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形，过最大内角作对边的高，那么此时高一定在三角形内部，按照此种证明方法海伦公式也可得证.海伦公式的两个推论推论1：已知三角形的三边长为a，b，c，设p= （a+b+c），可得三角形的内切圆半径r= .证明：如图3，圆O为△ABC的内切圆，内切圆半径为r，则有S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= cr+ ar+ br.由海伦公式可得S△ABC= = （a+b+c）r=pr，证得r= .推论2：设边AB，BC，CA上的高分别记为hc，ha，hb，可得ha= ，hb= ·，hc= .证明：因为S△ABC= ah = ，可证得ha= ，同理可证推论2成立.。
海伦—秦九昭公式的推导和应用
海伦—秦九昭公式的推导与应用海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
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海伦公式的几种证明与推广
高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：
))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2
1
c b a p ++=
，称为半周长。
图1
C
为了证明该公式，海伦公式有多种变形，如：S=
))()((c p b p a p p ---
=
))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441
c b a b a -+- =4442222222224
1
c b a c b c a b a ---++ （方法一）：利用三角形面积公式C ab s sin 2
1=和余弦定理C ab b a c cos 22
22-+=
C ab s sin 21==C n ab 2
cos 121-=2222)2(121ab
c b a ab -+-下略。
（方法二）：利用三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2
1
=
∆入手，并利用勾股定理，如图2。
图2
B
C
在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+a
z y b z x c y x 2
22222解方程，得a b c a y 2222-+=，
a c
b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b
c a c a a
a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。
（方法三）：利用三角形内切圆
图3
z C
如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan
, y r B =2tan ,z
r
C =2tan ,代入恒等式
2tan 2tan
B A ⋅+2tan 2tan
C A ⋅+2
tan 2tan C
B ⋅=1，(考虑三角形内角和之半为九十度，并考虑和角正切公式) 得
1222=++yz
r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式 xyz z y x r =++)(2
………①
又，x z y y x z x a c b 2)()()(=+-+++=-+ ，所以，2a c b x -+=
，同理2
b
c a y -+=，2c b a z -+=。
………②于是△ABC 的面积r c b a S )(21++==r y x z x z y )(2
1
+++++=r z y x )(++ =22)(r z y x ++，把①、②式代入，即得xyz z y x S )(++=
=
))()()((4
1
b c a a c b c b a c b a -+-+-+++。
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为d c b a ,,,，且2
d
c b a p +++=
,则S 四边形=))()()((d p c p b p a p ----
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA ，CB 交于点E 。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD
∴e a f + = c f e + = d b ， ABCD
EAB S S 四边形∆ = 222b d b -
解得： e =22)(b d cd ab b -+ ③ f =2
2)
(b d bc ad b -+ ④由于S 四边形ABCD =222b b d -S △EAB 将③，④跟b =2222)
(b d b d b -+代入海伦公式公式变形，得：
∴S 四边形ABCD =
22
24b b d -222222)(4f b e b e -+-
=2
2
24b b d -22222222222222222242222224)]
)()()()()()([()()()(4b d bc ad b b d b d b b d cd ab b b d b d cd ab b -+---+-+---+
=2
2
2
4b
b
d -{}
2
2222222224
224])()()[()()(4)
(bc ad b d cd ab b d cd ab b d b +--++--+-
=
)(4122b d -2222222222]}{}{}[{)()(4bc ad b d cd ab b d cd ab +--++--+ =
)(41
22b d -)2()()(42222224422222222c b d a b d b d d c b a b d cd ab ---+++--+ =
)(41
22b d -)()([)()(422222222222222c a b d d c d b a b b d cd ab +--+--+--+
=
)(4122b d -])()(4[)(222222222a b d c cd ab b d --+-+-
=4
1)22)(22(22222222c a b d cd ab a b d c cd ab -++-+--+++
=])()][()()[(41
2222c a d b d b c a --+--+
=))()()((41
a c d
b b
c
d a c d b a d c b a -++-++-++-++
=))()()((d p c p b p a p ---- 所以，海伦公式的推广得证。
图4。