空间几何体的表面积和体积 教案

空间几何体的表面积和体积

适用学科 数学 适用年级 高一

适用区域 人教版

课时时长（分钟） 60

知识点

1、空间几何体的表面积

2、空间几何体的体积

学习目标 掌握空间几何体的表面积和体积 学习重点 空间几何体的表面积和体积 学习难点

空间几何体的表面积和体积的计算

学习过程

一、复习预习

空间几何体的表面积：各个面的面积之和。

二、知识讲解

考点/易错点1 空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积

2

r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2

4R S π=

考点/易错点2 空间几何体的体积

1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底31

3台体的体积 h S S S S V ⨯++

=)3

1

下下

上上（ 4球体的体积 33

4

R V π=

三、例题精析

【例题1】

【题干】 如图所示，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，BC=b ，BB 1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0.

求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长.

222r rl S ππ+=

【解析】 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.

三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为： 22)(c b a ++=ab c b a 2222+++，

2

2)(c b a ++=bc c b a 2222+++， 22)(b c a ++=ac c b a 2222+++，

∵a ＞b ＞c ＞0,∴ab ＞ac ＞bc ＞0.故最短线路的长为bc c b a 2222+++.

【例题2】

【题干】 如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 【解析】如图所示,过C 作CO 1⊥AB 于O 1, 在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=3R,BC=R,CO 1=

2

3

R,∴S 球=4πR 2, 侧圆锥1AO S =π×

2

3

R ×3R=23πR 2,

侧圆锥1BO S =π×23R ×R=

2

3

πR 2,∴S 几何体表=S 球+侧圆锥1AO S +侧圆锥1BO S =

211πR 2+23πR 2=2311+πR 2,∴旋转所得到的几何体的表面积为2

3

11+πR 2. 又V

球

=

34πR 3,1AO V 圆锥=31·AO 1·πCO 12=π41R 2·AO 11BO V 圆锥=3

1BO 1·πCO 12=41

BO 1·πR 2

∴V 几何体=V 球-（1AO V 圆锥+1BO V 圆锥）=34πR 3-21πR 3=6

5

πR 3.

【例题3】

【题干】如图所示，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C —A ′DD ′， 求棱锥C —A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.

【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADD ′A ′—BCC ′B ′. 设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V=Sh. 而棱锥C —A ′DD ′的底面面积为2

1S ，高是h,

因此，棱锥C —A ′DD ′的体积V C —A ′DD ′=3

1×2

1Sh=6

1Sh.余下的体积是Sh-6

1Sh=6

5Sh. 所以棱锥C —A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

【例题4】

【题干】如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°， E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起， 使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

【解析】由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.

∴折叠后得到一个正四面体

方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心. 取EC 的中点G ，连接DG 、AG ，过球心O 作OH ⊥平面AEC. 则垂足H 为△AEC 的中心∴外接球半径可利用△OHA ∽△GFA 求得. ∵AG=

23，AF=2)33(1-=3

6

，在△AFG 和△AHO 中，

根据三角形相似可知， AH=33.∴OA=AF AH AG ⋅=3

6

33

23⋅

=46

.

∴外接球体积为π3

4×OA 3=3

4·π·

3

466=

π8

6 方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为

22，∴外接球直径2R=3·2

2， ∴R=4

6

，∴体积为π

34·3

46⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=π86

. ∴该三棱锥外接球的体积为

π8

6

.

四、课堂运用

【基础】

1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=4

1

A 1

B 1，

则多面体P-BCC 1B 1的体积为

2.已知正方体外接球的体积为3

32

π,那么正方体的棱长等于 .

3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

4、三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且