经典控制理论——第二章1

d p p s dt
（4）传递函数 G s 的Laplace反变换是系统的 脉冲响应 g t 。
当 R s 1
即 r t t 时
C s G s R s G s
C t L
1
C s L
2.1 微分方程模型（亦:时间域模型） 2.1.1 根据系统物理机理建立系统微分方程 模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理）， 列出元件的原始方程，在条件允许的情 况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素 的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出 最后形式
2-1 控制系统的复数域数学模型
1.传递函数的定义和性质
定义 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
n n n 1
a0
d dt
c(t ) a1
m
d dt
n 1
c(t ) a n 1
m 1
d dt
c(t ) a n c(t ) d dt r (t ) bm r (t )
RC dx dt
c
xc xr
初始条件为零时，拉氏变换为
该电路的传递函数为
X c (s) X r (s)
( RCs 1) X c ( s ) X r ( s )
1 RCs 1 1 Tc s 1
G (s)

式中 T c RC ——RC电路的时间常数。
传递函数的性质
（ 1）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶 次）是一切物理系统所固有的，这是因为任 何物理系统均含有惯性。 （2）传递函数取决于系统或元件的结构和参 数，与输入信号的形式无关。 （3）传递函数与微分方程可相互转换。
1
G s g t
上式表明：系统的传递函数与系统的 脉冲响应有单值对应的关系，由于传递函 数是系统的一种数学模型，能反映系统的 静、动态性能，故系统的脉冲响应也可以 反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲 响应也可以作为系统的数学模型。
在平衡状态点运用泰勒级数展开为
2 1 d f ( x) df ( x) (x x ) 2 y f ( x) f ( x 0 ) ( x x0 ) 0 dx x 2! dx 2 x0 0
df ( x) y y 0 f ( x) f ( x 0 ) ( x x0 ) dx x0
y K x
yKx
具有两个自变量的非线性函数的线性化
f ( x1 , x 2 ) y f ( x1 , x 2 ) f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) x1 ( x1 0 , x2 0 ) f ( x1 , x 2 ) ( x 2 x 20 ) x 2 ( x1 0 , x2 0 )
b0
d dt
m
r (t ) b1
d dt
m 1
r (t ) bm1
在零初始条件下，取拉氏变换得：
b 0 s b1 s
m n m 1 n 1
C (s)
bm 1 s b m a n 1 s a n
m 1 n 1
dX t dt
, k－弹簧系数 , f－阻尼系数
dX
阻尼器力
F 2 t f
两式代入：
m
d
2
x t
2
F t kX t f
t
dt
dt
整理得：
m
d x t
2
dt
2
f
dx t dt
Kx t F t
例2：RLC电路如图，建立输入输出间的
注意：该系统也是一个二阶系统 与例1相比，它们具有相同的模型形式。 当k m f与R L C在数值上具有一定关系时，上 述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是 说，在数学上X(t)~F(t)，Uc(t)~Ur(t)具有相同的 关系（静、动态关系），由此可见利用数学模 型研究控制系统的重要性、方便性。另外，用 电气系统模拟机械系统进行实验研究也是工程 中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系 统的具体属性进行普遍意义的分析和研究。
微分方程关系式。
由基尔霍夫定律
电流i与Uc 的关系
U
r
t
c
L
di t dt
Ri t U
c
t
U
t

1 C
i t dt
c
i t C
dU
t
dt
整理得：
LC
d U o t
2
dt
2
RC
dU
o
t
dt
U o t U r t
线性系统的重要性质：叠加原理 可叠加性和齐次性
线性定常微分方程的求解方法有： 经典法和拉氏变换法 拉氏变换法：微分方程拉氏变换 代数方程求解 拉氏反变换
非线性数学模型线性化
小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数 平衡状态A为工作点
y f (x)
y f (x)
y0 f ( x0 ) , x x0 x , y y0 y
第二章 控制系统的数学模型
主要内容
介绍建立控制系 统数学模型和简化的 相关知识。包括线性 定常系统微分方程的 建立、非线性系统的 线性化方法、传递函 数概念与应用、方框 图及其等效变换、梅 逊公式的应用等。
重点
应准确掌握传递函 数的概念及其求取方法、 控制系统方框图的构成 和等效变换方法、典型 闭环控制系统的传递函 数的基本概念和梅逊公 式的应用。
df ( x) K dx x0
增量线性方程
y K1 x1 K 2 x 2
这种小偏差线性化方法对于控制系统中大多数连续工 作状态是可行的。 在线性化处理时要注意以下几点： （1）线性化方程中的参数（如上面的K1,K2）与选择的工 作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时， 首先应确定工作点。 （2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大， 注意小范围内。 （3）如系统在工作点处的非线性是不连续的，其泰勒级 数不收敛，这时上述方法不能用，这种非线性称为本质 非线性。 本质非线性 不能进行线性化处理 非本质非线性 在一定条件下可线性化处理
对系统数学模型的基本要求 理论上，没有一个数学表达式能够绝对准确地描 述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线 性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系 统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系 统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进 行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学 模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考 虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素： ----模型类型（与物理性能、分析、设计方法有关） ----系统允许的误差条件（在允许的条件下尽可能 取简单的模型形式）
a 0 s a1 s
m n
R (s)
G (s)
b0 s
b1 s
b m 1 s b m a n 1 s a n
a 0 s a1 s
G(s)称为系统或环节的传递函数，可以写成
G (s) C (s) R (s)
例如 典型RC电路的微分方程式为
例1：机械位移系统如图，建立X(t)~F(t)的微分方
程关系式。
质量-弹簧-阻尼器系统
m的受力分析： 输入：F(t) 力 输出：X(t) ~m的位移
对于m，由牛顿定律 F m a ，有
m d
2
Baidu Nhomakorabea
x t
2
dt
F t F1 t F 2 t
弹簧力
F1 t kX t
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量 （或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数 字表达式。 模型按系统运动特性分为： 静态模型 动态模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程 问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键 ! 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的， 在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟 的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是 快的，因为它有严谨和完整的理论支持； 另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的 场合，它才具有生命力。