概率(几何)定义

几何概型的解法归纳

摘要：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面（或直线、空间）中的点来表示，而所有的基本结果对应于一个区域Ω，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.

关键词：几何概型 ，概率，蒲丰投针

引言 ：几何概率定义：设Ω是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）

向Ω中随机投掷一点M ，如果点M 落在Ω中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型.

对于几个可行试验，事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率，定义为

()的测度

的测度

Ω=A A P

这里的测度指长度 、面积 、体积等 .

1 一般问题 1.1 直接解题法

这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单，易于求解.下面举例说明.

例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而且落在这个三角形内每一点处

的可能性都

相等.求此质点落在直线3

1

=x 的左边的概率.

解 由题意得出图（1），可知影阴部分即为题中所要求的样本

点A ，

大三角形即为样本空间Ω.

21

1121=⨯⨯=Ωs

185********=⨯⨯-=A s

根据概率的几何定义，

可得所求概率为：5

5

18192

P s

s

A Ω

=

== . 例2 随即地向半圆2

20x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4

π

的概率.

解 以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知：

点()y x ,应落在图（2）所示的影阴部分（记为区域A ）由于在极坐标下，图形A 的面积：

2c o s

40

a s d rdr π

θθA =⎰⎰

=2

2cos 40

12

a d r π

θθ⎛⎫

⎪⎝⎭

⎰ =2

240

2cos a d π

θθ⎰

=()2

40

1cos 2a

d π

θθ

+⎰

=4

222sin 2

1

4πθ

π

a a +

=2214a ⎪⎭

⎫

⎝⎛+π

221a s π=Ω

应用几何概率公式得到所求的概率：2

211142122

a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭

===+ .

1.2 间接解题法

这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需要对问题作深入的分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明.

例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解 设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10，显然有

图(1)

1

1/31

x

y

A

π/4a 图（2）

o

y

x

⎪⎩⎪

⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x

也就是 ⎪⎩

⎪

⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x

把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点，

则区域Ω可以用图（3）中的大三角形表示出来.

为了使分成的三段能构成三角形，必须满足 角形任意两边之和大于第三边所以有：

()()⎪⎩

⎪

⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x y

x y x 101010 也就是 ⎪⎩

⎪

⎨⎧>+<<<<55050y x y x ， 于是区域A 可以用图（3）中的影阴部分表示，因此，所求概率为

1

55

1

21

410102

P S S

A Ω

⨯⨯=

==⨯⨯ .

例 4 从区间()1,0内任意取两个数，求这两个数的积小于4

1

的概率.

解 以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数，那么x 和y 的变化范围为：

10<

两数的积小于41的充要条件为：41

1

=xy 及

四条直线：0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的区域A （如图（4））内时，两数的积小于4

1

，因为区域Ω的面

积大小为

1，而区域A 的面积大小为：

1

141111l n 24424

dx x s A =+=+⎰ . 于是，所求的概率为：11ln 21124ln 2124

P s s

A Ω

+

=

==+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x 求1Ax ，2Ax ，3Ax 能构成三角概率.

解 设线段AB 的长为1则101<

102<

来.要使

1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形，

当且仅当⎪⎩⎪

⎨⎧>+>+>+132

231321x

x x x x x x x x ，即六面体ODEBA 为

所要求的

样本点A ，所以所要求的概率为：

111313212

A P ν

ν

Ω

-⨯⨯==

=.

2 典型问题 2.1 会面问题

例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.

解 以x 和y 分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的充要条件是：15x y -≤ ，在平面上建立直角坐标系，则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的

时间由图（6）

中的影阴部分所表示，因此所求概率为：

222604576016

P s

s

A Ω

-=

== .

例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.

图（3）

10

10

5

5y x

y-x=15

x-y=15

图（6）

60

60

15

150

y

x

1/4

1/4图（4）

y

A

1

1

x

图(5)

O

H

F

E

D

C B

A

1

1

1

X3X2

X1