曲线的交点

2．6.3 曲线的交点

[学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．

[知识链接]

1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点．

2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？

答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引]

1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．

2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|.

要点一 直线与圆锥曲线的交点问题

例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

解 依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ②

①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k >

63或k <－6

3

时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±6

3时，直线与曲线仅有一个公共点；

当3k 2－2<0，即－

63

3

时，直线与曲线没有公共点．

规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？

解 将直线l 和抛物线C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，

y 2＝4x ，

①②

①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．

(2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．

综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题

例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．

解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，

由方程组⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

＝ay ，

x －2y －1＝0.

消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝1

2(x 1－x 2)，

弦长为AB ＝

(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝ 5

4

(x 1－x 2)2＝ 5

4

[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝14

5(a 2－8a ).

∵AB ＝15， ∴14

5(a 2－8a )＝15，

即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12. ∴所求抛物线方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .

规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB ＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋

1k 2

|y 1－y 2|及公式|x 1－x 2|＝

b 2－4ac

|a |

较为简单． 跟踪演练2 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①

∵x 1、x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b

2，x 1x 2＝－1.

又AB ＝

1＋k 2

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有

AB ＝

1＋22

·b 2＋162

＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.

故所求b 的值为±2.

要点三 与弦的中点有关的问题

例3 抛物线y 2＝8x 上有一点P (2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程． 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)．

∵F 为△PQR 的重心，∴QR 的中点为M (2，－2)，如图所示．

设Q (x 1，y 1)、R (x 2，y 2)，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

y 21＝8x 1， ①y 2

2＝8x 2， ②

①－②，得y 21－y 2

2＝8(x 1－x 2)．

又y 1＋y 2＝－4，

∴直线QR 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝8－4＝－2.

∴QR 所在直线的方程为y ＋2＝－2(x －2)， 即2x ＋y －2＝0.

规律方法 本题设出Q 、R 的坐标，得出y 21＝8x 1，y 2

2＝8x 2，再作差的解法称为点差法，点差

法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．

跟踪演练3 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方程．

解 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，

又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝

y 1－y 2x 1－x 2

＝1.

所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.

1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 答案

3－1

解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝c

a

＝3－1.

2．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭

圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案

33

解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2

a ＝2a,3

b 2＝3a 2－3

c 2＝2a 2，则此椭圆的

离心率e 为

3

3

.