曲线的交点

2．6.3 曲线的交点[学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．[知识链接]1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点．2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引]1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|.要点一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解 依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ②①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k >63或k <－63时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±63时，直线与曲线仅有一个公共点；当3k 2－2<0，即－63<k <63时，直线与曲线没有公共点．规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，①②①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．(2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝12(x 1－x 2)，弦长为AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 54(x 1－x 2)2＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵AB ＝15， ∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12. ∴所求抛物线方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|及公式|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |较为简单． 跟踪演练2 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1、x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.要点三 与弦的中点有关的问题例3 抛物线y 2＝8x 上有一点P (2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程． 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)．∵F 为△PQR 的重心，∴QR 的中点为M (2，－2)，如图所示．设Q (x 1，y 1)、R (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②①－②，得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝－4，∴直线QR 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝8－4＝－2.∴QR 所在直线的方程为y ＋2＝－2(x －2)， 即2x ＋y －2＝0.规律方法 本题设出Q 、R 的坐标，得出y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．跟踪演练3 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝ca＝3－1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2a ＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33.3．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是____________．答案 y 236－x 264＝1解析 焦点坐标为(0,10)， 故c ＝10，a ＝6，b ＝8.4．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而AB ＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0时，若消去y ，得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，这时，要考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a ≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，设其两根为x 1，x 2，则P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(b 2a 2－4ca).3．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1上两点，P 0(x 0，y 0)是弦P 1P 2的中点，则由mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1相减，得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，从而kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－mx 0ny 0.一、基础达标1．若直线l 过点(3,0)且与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条． 答案 3解析 有两条与渐近线平行的直线：y ＝±23(x －3)，另外，还有一条切线x ＝3.2．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________． 答案255解析 由交点坐标为(1,2)，求得a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为255.3．曲线x 2＋y 2＝9与曲线x 2＝8y 的交点坐标是________． 答案 (±22，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝9，x 2＝8y ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝±22，∴交点坐标为(±22，1)．4．过点(0,1)且与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有______条． 答案 3解析 一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条． 5．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.6．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为________．答案 相交解析 因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交．7．如图，斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A 、B两点，求弦AB 的长．解 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(83)2－4×5×85＝85.二、能力提升8．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为________． 答案 9或19．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是____________．答案 (－23，13)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0，所以x 1＋x 2＝－43，所以弦的中点的横坐标为－23，代入y ＝x ＋1，得中点坐标是(－23，13)．10．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则AB ＝________. 答案 3 2解析 设AB 的方程为y ＝x ＋b ，与y ＝－x 2＋3联立得： x 2＋x ＋b －3＝0，∴Δ＝1－4(b －3)>0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3.∴AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫－12，b －12在x ＋y ＝0上： 即－12＋b －12＝0，解得b ＝1符合Δ>0，∴弦长AB ＝1＋1·1－4×(－2)＝3 2.11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点．设△AOB 的面积为S (O 为原点)，若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．解 如题干图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.又S △AOB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12·p 2·|y 1|＋12·p 2·|y 2|＝p 4(|y 1|＋|y 2|)≥p 4·2|y 1y 2|＝p 22.当且仅当|y 1|＝|y 2|＝p 时等号成立．故S min ＝p 22.由题意有p 22＝8，∴p ＝4.故所求的抛物线方程为y 2＝8x .12．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 如图所示，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4，∴N 点的坐标为(k 4，k 28)．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 y －k 28＝m (x －k 4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0.∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行． (2)解 假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB .由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0. 三、探究与创新13．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A (3,0)、B (0,3)，求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．解 线段AB ：x ＋y －3＝0(0≤x ≤3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－x 2＋mx －1.消去y ，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0.令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则方程f (x )＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－4×1×4>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝32－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103.故所求m 的取值范围为{m |3<m ≤103}．。