曲线的交点最新版
高二数学最新课件-曲线的交点 精品
按某中规律运动 （几何意义 ）
x,y 的 制 约 关 系 （代数意义）
曲线C （动点的集合）
一一对应
方程 F（x,y）=0
如果曲线C的方程F(x,y)=0， 点 Px0 , y0 ,则
1） 点P在C上 F x0 , y0 =0 2） 点P不在C上 Fx0 , y0
0
曲线的交点和方程组的解的关系
形2
例题4
1 1 求直线y=x+ 2 被抛物线 y x 2 -1截得的线段AB的长。 2
形3
思考：
经过(0,-2)的直线与抛物线 y
1 2 x -1有交点吗？有几个？ 2
形4
课堂小结
求曲线交点的问题,交点个数(或两曲线的 位置关系 ) 问题是通过研究方程组的解来 解决。 2、注意数形结合思想在解题中的运用。
曲线C1 、C2 的交点
y F1(x1,y1)=0 1）(x1,y1) 满足 F2(x1,y1)=0 x=x2 2）方程组的一个解 y=y2 B(x ，y ) ● C1
方程组
{ F (x,y)=0 的解
2
F1(x,y)=0
{
{
x=x1 y=y1 是方程组的解
{
点(x2, y2) 是曲线C1 C2公共点
形1
通过两题请同学们说说：
如果已知曲线 C1、C2的方程分别为
F1 ( x, y) 0、F2 ( x, y) 0
1. 判断两曲线是否相交的方法
2.判断交点个数的方法有那些?
例题3
已知曲线C的方程是 y 9 x 2 ,直线 l : 2 x y b 0 当 b 为何值时，直线与曲线C有两个不同的交点？一个交 点？没有交点？
曲线的交点(2)PPT课件(高中数学)
1.在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限, 半圆个焦径ax点为22 的2距y92离2的之圆1和C是和与1直0圆.线Cy的=x一相个切交与点原到点椭O,圆椭两
(1)求圆C的方程和椭圆的方程.
(2)圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆 右焦点F的距离等于线段OF的长?若存在,求出 Q的坐标,若不存在,说明理由.
2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2, 设l1与x轴交于点A, l2与y轴交于点B,求线段
AB的中点M的轨迹方程. y
P(2,4)
B O
l2
M
x
A
l1
2.设F1,F2分别是椭圆
x2 4Biblioteka y21左右两个焦点.
(1)若P是椭圆上一个动点,求PF1 PF2的最大值 和最小值.
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的 两 点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取
值范围.
3.如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为
F（3，0），右准线l的方程为：x = 12,
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点 P1, P2 , P3 , 使
P1FP2 P2 FP3 P3
为定值，并求此定值
FP1
证明：
|
Y
1 FP1
|
|
1 FP2
|
|
1 FP3
|
P2
P1
l
O F P3
X
作业:
1.以直线x=4为准线,且经过点A(1,2)作抛物线 C,设C的焦点为F,求AF的中点M的轨迹方程.
北师大版高中数学选择性必修第一册2.4.1 直线与圆锥曲线的交点课件
则
−
2k k2−2
>
0
2 k2−2
>
0
解得－2<k<－ 2.
题型三 直线与抛物线的交点问题 例3 在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距 离最短，并求此距离．
方法归纳
求抛物线上的点到直线的距离最短的策略 1．先在抛物线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求 解； 2．根据已知直线设与抛物线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设 直线的方程，再由平行线间的距离公式求解．
解析：(1)过A点有两条：垂直于x轴一条，平行于另一条渐近线1条． (2)过B点有1条：垂直于x轴一条． (3)过C点有两条：平行于两条渐近线各有一条． (4)过D点的没有．
方法归纳
直线与双曲线的位置关系的判断方法 1．代数法 将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲 线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二 次 方 程 的 式 子 中 ， 要 注 意 x2 项 或 y2 项 的 系 数 是 否 为 零 ， 否 则 容 易 漏 解． 2．数形结合法 判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率 与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
跟踪训练2 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不 同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
答案：(－2，－ 2)
解析：联立方程组ቊ2yx2=−kyx2+=11 得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0
k2 − 2 ≠ 0 Δ = 2k 2 − 8 k2 − 2 > 0
跟踪训练3 已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，
高中数学第2章2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．6.3曲线的交点[对应学生用书P43]给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系． 提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？ 提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0方程特征 交点个数位置关系 直线与椭圆a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离直线与双曲线a ＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a ≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离直线与抛物线a＝0 1直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>0 2 相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离[对应学生用书P44]直线与圆锥曲线的位置关系[例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±52时，方程①只有一解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－52＜k＜52，且k≠±12时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0， 直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0， 直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上：当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝(0－53)2＋(－2－43)2＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0.则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)[(53)2－4×0]＝553.法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：164．直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 22－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457. 答案：4575．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝721425.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上面的方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1， 因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1， 解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 又因为A ，B 在椭圆上， 所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1FA ＋1FB为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，FA ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p2.1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．7．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512PB u u u r，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0＜a ＜2，且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e ＞62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512PB u u u r，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a ＞0，解得a ＝1713. 8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝ x 2＋42， 又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)]1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________． 解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0， 解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)． 答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为________． 解析：由数形结合可知两曲线有4个交点． 答案：43．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)． 设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点， 则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 ________．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12. 即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程． 解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1.(2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y25＝1.消去y 得(8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5， 又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0.7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满足OM u u u u r ⊥ON u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·ON u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
12.1(1)曲线的交点
画出y 2 x (1 x 2)的图象C
2
y
1. 如果 M ( x0 , y0 ) 是C上的点，那么 ( x0 , y0 )一定 是y 2 x 2 ( 1 x 2)的解
方程 顶点 C的轨迹。
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 y kAC＝ （x≠－5） ； x5 直线 BC 的斜率 y kBC＝ （x≠5） ； x5 由题意，得 kACkBC＝m， y y 所以， × ＝m（x≠±5） ． x5 x5
［例2］点M与互相垂直的直线的距离的 积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹.
2. 反之，若 ( x0 , y0 )是方程 y 2 x 2 (1 x 2)的解， 那么以它为坐标的点一 定在 C上
x -1 2
所以点集C与方程y 2 x 2 (1 x 2)的解集一一对应
问题1 点集C（曲线图象）还是抛物线的一部分 ： 方程变为y 2 x 2 , 不加任何制约条件，那 么 此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢？
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立 直角坐标系. 设点M的坐标为(x,y)，建立适当的坐标系，
设点的坐标 点M的轨迹就是与坐标轴的 列出几何关系 距离的积等于常数k的点的集合： P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},(其中Q、R分别是 点M到x轴、y轴的垂线的垂足） 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和 横坐标的绝对值， 坐标代换 ∴｜x｜·｜y｜=k, 即x·y=±k①
4、方程组有几组实数解，两曲线就有几
个交点；方程组没有实数解，两条曲线就
苏教版高中数学选修2-1：曲线的交点_课件3
直线与曲线的交点问题
直线和二次曲线交点问题：将直线和二次 曲线方程联立得到一个一元二次方程(二次项 系数不为零)，将问题转化为判断此一元二次 方程的根的情况，利用根的判别式即可．
例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C： x2－4y2＝4，当k为何值时： (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点． 【思路点拨】 直线与圆锥曲线公共点的个 数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组 解的个数，从而问题可转化为由方程组的解 的个数来确定参数k的取值．
曲线的交点
学习目标
1.会用联立方程组的方法求两曲线的交点坐 标． 2．能结合图形理解方程组解的个数与两曲线 交点个数的关系，进一步体会数形结合的思 想．
课前自主学案
温故夯基
1．求两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0(A1B2－A2B1≠0)的交点的方法 是_解__联__立__两__直__线__方__程__构__成__的__方__程__组__． 2．直线与二次曲线的交点，一般通过联立 方程得到关于x或y的一元二次方程的判别式 来判断：当_Δ_>_0_时，有两个交点；当Δ__＝__0时， 有一个交点；当_Δ_<_0_时，无交点.
∴ P(4 － a， a· 8－2a＋2 a2＋8a).11 分 若 AM、AP、AN 成等差数列，则|AP| ＝4， ∴(4－2a)2＋a(8－2a＋2 a2＋8a)＝16， 解得 a＝1，这与 0<a<1 矛盾． 故不存在 a，使 AM、AP、AN 成等差数 列.14 分
【名师点评】 (1)两条曲线的交点问题，考 纲中没有过高的要求，但仍可通过其他形式 考查．
若直线与曲线交于 A、B 两点，则 AB ＝ __1_＋__xk_12－_|x_1x_－2__2x＋_2_| _y_1－_＝y2__2＝___1_＋__k_12_·|_y_1－__y_2_| ， 其中 k 为直线 AB 的斜率，x1、x2，y1、 y2 为相应一元二次方程的两根．
双曲线的交点弦公式
双曲线的交点弦公式双曲线是一种常见的数学曲线，其交点弦公式可以通过以下方式来推导和解释。
首先，我们考虑一个一般的双曲线方程，$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
我们希望找到两条双曲线的交点，并且找到这两条曲线的切线方程。
设两条双曲线分别为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} =1$和$\frac{x^2}{c^2} \frac{y^2}{d^2} = 1$，它们相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。
我们希望找到这两条曲线在这些交点处的切线方程。
首先，我们需要计算这两条曲线在交点处的斜率。
我们可以通过求导来得到曲线的斜率函数。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2} = 1$，我们可以求出其导数为$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}$。
因此，在交点$(x_1, y_1)$处，曲线的斜率为$m_1 = -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$，在交点$(x_2, y_2)$处，曲线的斜率为$m_2 = -\frac{b^2x_2}{a^2y_2}$。
接下来，我们可以使用点斜式来得到切线方程。
对于点$(x_1, y_1)$处的切线，其方程可以写为$y y_1 = m_1(x x_1)$，对于点$(x_2, y_2)$处的切线，其方程可以写为$y y_2 = m_2(x x_2)$。
将双曲线方程代入切线方程中，我们可以得到交点弦公式。
将双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$代入切线方程$y y_1 = m_1(x x_1)$和$y y_2 = m_2(x x_2)$中，可以得到交点弦的方程。
综上所述，双曲线的交点弦公式可以通过求出两条双曲线在交点处的切线方程，并将双曲线方程代入切线方程中来得到。
这样的推导可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和交点弦的特点。
直线与曲线的交点知识点总结
直线与曲线的交点知识点总结直线和曲线的交点问题是数学中的重要内容之一。
在解决这类问题时，我们需要了解一些相关的知识点。
本文将对直线与曲线的交点进行总结，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
1. 直线与曲线的交点定义及求解方法直线与曲线的交点是指直线与曲线在平面上相交的点。
一般来说，我们常用代数的方法求解交点。
具体而言，可以使用以下方法：1.1 代数方法对于直线和曲线的交点问题，我们可以将直线和曲线的方程联立，将未知量表示为同一变量，通过求解方程组来确定交点的坐标。
1.2 图形方法通过绘制直线和曲线的图形，我们可以观察到交点的大致位置，并估计交点的坐标。
然后通过进一步的计算和分析，可以获得更精确的结果。
2. 直线与曲线的常见示例下面介绍一些常见的直线与曲线的交点问题。
2.1 直线与直线的交点当两条直线相交时，交点的坐标可以通过联立直线的方程求解得到。
如果两条直线平行或重合，则它们没有交点。
2.2 直线与圆的交点当一条直线与圆相交时，交点的坐标可以通过联立直线和圆的方程求解得到。
具体求解方法可根据情况选择直接代入或消元的方法。
2.3 直线与抛物线的交点直线与抛物线相交时，可将直线的方程代入抛物线的方程，通过解方程求解交点的坐标。
具体求解方法可根据方程的形式选择适当的方法，如二次方程求解法等。
2.4 直线与椭圆的交点直线与椭圆相交时，可以将直线的方程代入椭圆的方程，通过解方程求解交点的坐标。
同样，求解方法可根据方程的形式选择适当的方法。
3. 直线与曲线交点应用举例直线与曲线的交点问题在生活和工作中有许多应用，下面以几个简单的例子加以说明。
3.1 交通规划在城市的交通规划中，我们常常需要考虑不同道路的交叉口。
这其中就牵涉到直线与曲线的交点问题。
通过计算直线与曲线的交点坐标，可以确定交叉口的位置和道路的走向。
3.2 物体运动轨迹在物理学中，我们常常需要研究物体的运动轨迹。
当物体的运动由直线和曲线组成时，我们可以通过计算直线与曲线的交点来确定物体的位置和运动轨迹。
直线与曲线的交点
直线与曲线的交点直线与曲线的交点是数学中的重要概念，在几何学和微积分中有广泛的应用。
当一条直线与一条曲线相交时，它们在某个点上有相同的坐标值，这个点就是它们的交点。
本文将探讨直线与曲线的交点的概念、求解方法和一些实际应用。
一、直线与曲线的交点概念直线与曲线的交点是指一条直线与一条曲线在平面上相交的点。
直线可以用一元一次方程表示，一般具有形式y = kx + b，其中k和b为常数。
曲线则可以用二元二次方程、三次方程等多项式方程或参数方程来表示。
曲线的形状和特征由方程的类型决定。
二、求解直线与曲线的交点的方法求解直线与曲线的交点可以通过代数或几何的方法进行。
下面将介绍两种常用的求解方法。
1. 代数方法：利用代数方法求解直线与曲线的交点时，需要将直线方程和曲线方程联立，然后解方程组。
对于一元一次方程和一元二次方程，可以通过联立方程组消元的方式求解；对于高次多项式方程或参数方程，一般需要借助数值计算或者计算机程序来求解。
2. 几何方法：几何方法通过画出直线和曲线的几何图形，确定它们的交点位置。
对于一元一次方程，可以在坐标平面上画出直线，然后观察它与曲线的交点个数和位置；对于一元二次方程，可以画出抛物线和直线的图像，通过图像的交点来确定实际的交点。
三、直线与曲线的交点的应用直线与曲线的交点在科学和工程中有广泛的应用。
下面列举几个例子。
1. 物理学中的运动学：在物理学中，运动学研究物体的运动状态和规律。
当一条直线表示物体的位移，曲线表示物体的轨迹时，它们的交点就表示物体在某个时刻的位置。
通过求解直线与曲线的交点可以确定物体的位置和速度。
2. 经济学中的需求曲线和供应曲线：在经济学中，需求曲线和供应曲线用于描述商品或服务的需求量和供应量之间的关系。
需求曲线一般为下降曲线，供应曲线一般为上升曲线。
当需求曲线和供应曲线相交时，它们的交点表示市场均衡的价格和数量。
3. 电路分析中的交流电路：在电路分析中，交流电路通常由电容、电感、电阻和电源等元件组成。
掌握直线和曲线的交点计算方法
掌握直线和曲线的交点计算方法直线和曲线的交点计算方法在数学中，直线和曲线的交点计算是一个常见的问题。
通过掌握正确的计算方法，我们可以准确地确定直线和曲线的交点位置。
本文将介绍两种常见的计算方法：代数方法和几何方法。
一、代数方法使用代数方法计算直线和曲线的交点，我们需要了解直线和曲线的方程。
假设直线的方程为y=ax+b，曲线的方程为f(x)，我们可以通过以下步骤求解交点的横纵坐标。
1. 将直线方程中的y用曲线方程中的x表示。
例如，将直线方程中的y=ax+b改写为x=a'y+b'，其中a'为a的倒数，b'为b除以a。
2. 将直线方程和曲线方程相等，即a'y+b'=f(x)。
3. 求解上述方程的解，得到交点的横坐标x。
4. 将横坐标x代入直线方程或曲线方程，求解得到交点的纵坐标y。
举例说明，假设直线方程为y=2x+1，曲线方程为f(x)=x^2，我们可以按照以上步骤计算交点的坐标。
1. 将直线方程中的y用曲线方程中的x表示，得到x=1/2(y-1)。
2. 将直线方程和曲线方程相等，即1/2(y-1)=x^2。
3. 将方程1/2(y-1)=x^2转化为二次方程的标准形式，得到x^2-1/2(y-1)=0。
4. 求解上述二次方程，得到交点的横坐标x=±√[1/2(y-1)]。
5. 将横坐标x代入直线方程或曲线方程，求解得到交点的纵坐标y。
通过上述计算，我们可以得到直线和曲线的交点的坐标。
二、几何方法除了代数方法，我们还可以使用几何方法来计算直线和曲线的交点。
几何方法通过绘制图形，利用几何关系求解交点的位置。
1. 绘制直线和曲线的图形。
2. 在图中标注直线和曲线的方程。
3. 观察图形，找到直线和曲线的交点位置。
4. 使用尺规作图或其他几何方法，求解交点的坐标。
举例说明，假设直线方程为y=2x+1，曲线方程为f(x)=x^2，我们可以按照以上步骤计算交点的坐标。
曲线的交点
2.6.3曲线的交点教学目标：1.使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2.通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3.通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)教学疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程一、问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P 与圆锥曲线C 的位置关系有：点P 在曲线C 上、点P 在曲线C 内部(含焦点区域)、点P 在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l 与圆锥曲线C 的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．3.如何求曲线0),(:11=y x f C 和曲线0),(:22=y x f C 的交点？二、讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：(由教师引导学生完成)2．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3.因为),(00y x p 是1C 与2C 公共点⎩⎨⎧==⇔0),(0),(001001y x f y x f ，所以求两条曲线的交点，就是求方程组⎩⎨⎧==0),(0),(11y x f y x f 的实数解. 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点.三、数学应用求m 的取值范围．解法一：解法二：称，求m的取值范围．解法一：解法二：例3.见课本P59例1例4.见课本P60例2小结：练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件，两曲线的交点．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．。
双曲线的交点弦公式
双曲线的交点弦公式标题：双曲线交点弦公式的探讨与应用一、引言在解析几何中，双曲线作为一种重要的二次曲线，其性质和相关公式在数学研究及实际问题解决中具有重要价值。
其中，双曲线的交点弦公式是解析几何的一个核心知识点，它描述了过双曲线焦点并与其相交的直线段（即交点弦）的长度与该直线的斜率以及双曲线的几何参数之间的关系。
二、双曲线交点弦公式详解设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中F₁、F₂分别为其左、右焦点，P(x₁, y₁)为过焦点F₁且与双曲线相交于点P和Q的直线与双曲线的交点之一，直线PF₁的斜率为m，则交点弦PQ的长度可通过以下公式计算：$$|PQ|=2a\cdot e \cdot \left( 1+\frac{m^2}{(e^2-1)} \right)^\frac{1}{2}$$其中，e是双曲线的离心率，定义为$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
三、公式推导与理解这个公式的推导主要基于双曲线的定义及其几何特性，通过联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理求得交点弦两端点横坐标之差，进而转化为弦长表达式，并结合焦点到准线的距离（即焦准距）与离心率的关系得出上述公式。
四、应用领域双曲线交点弦公式的应用广泛，不仅有助于我们深入理解和掌握双曲线的基本性质，还在天文学、物理学、工程学等领域有着重要应用。
例如，在光学设计中，透镜或反射镜表面的形状往往采用旋转双曲面，这时交点弦公式就能用来精确计算光线经过双曲面折射或反射后的路径长度，从而优化光学系统的性能。
五、结语双曲线交点弦公式作为解析几何中的一个重要工具，为我们提供了从定量角度理解双曲线几何特性的途径，同时也展现了数学理论在实际问题解决中的强大威力。
因此，深入研究和熟练运用这一公式，对于提升我们的数学素养和解决实际问题的能力都具有重要意义。
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线y=x2 /2的交点是A、
y
B且OA垂直OB，试确定
直线的方程。
B
A
0
x
• 例2、已知某圆的方程是x2+y2=2.当b为何值 时，直线y=x+b与圆有两个交点；两个交点 重合为一点；没有交点？
y
o
x
• 解：解方程组 y=x+b
(1)
•
x2+y2=2
(2)
• 把（1）式代入（2）式得
• x2+(x+b)2=2 2x2+2bx+b2-2=0 (3)
y
B
A
0
另解：设A(x1,y1)B(x2,y2) y=x+3/2 y=x2/2
所以 x2-2x-3=0 所以 x1+x2=2 x1x2=-3 |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2
= 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2] = 2(4+12)=4 2
练习：
• 如图：直线y=x+m和曲
三、曲线交点的应用举例：
例1、求直线y=x+3/2被曲线y=x2/2截 得的线段的长 y
B
A
x
0
解：先求交点。 解方程组 y=x+3/2
y=x 2/2 得： x1=-1, x2=3
y1=1/2, y2=9/2 所以交点A、B的坐标分别是 （-1，1/2），（3，9/2）。 直线被曲线截得的线段的长： |AB|= (3+1)2+(9/2-1/2)2=4 2
组的实数解的问题。
你能知道怎样求曲线的交点？
两条曲线的交点
方程组的实数解
B、求下列曲线的交点： 1、直线2x+y=0和直线3x+4y+22=0 2、直线y=x+3/2和曲线y=x 2/2
对比1、2有何发现？
曲线方程的次数越高； 运算量就越大
说明：不要求解有关两个二次 曲线交点坐标问题（两 圆的交点除外）
y
B
A 0
探究 与发现：
• 如图：l:y=x+3/2 C;y=x2/2
• 设A(x1,y1)B(x2,y2)则：y1-y2=x1-x2
• |AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
•
=(x1-x2)2 +(x1-x2)2
•
=(1+1)(x1-x2)2
•
=2[( x1+x2)2 -4x1x2]
• 见微知著，联想韦达定理
二、曲线交点的理解
• 根据材料回答问题：
• A：由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方
程的公共实数解，即两曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程 组有几个实数解，两曲线就有几个交点，方程组没有实数解，两曲线就 没有交点。即两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成大方程组有 实数解。可见，求曲线的交点的问题，就是求它们的方程所组成的方程
交点个数
方程组解的情况
判别式
直线与圆的位置关系
o
o
o
d>r
d=r
d<r
相离
相切
相交
变式题训练
• 设直线y=kx+1,圆x2+y2=2.试讨论直线与圆的 位置关系？
• 提示： • 1、代数法（利用判别式） • 2、几何法 • 3、数形结合[直线过定点（0，1）]
总结：
• 1、本课哪些问题是你发现的？同学交流 发现的？在老师指导下发现的？
• 2、你的思路与众相同还是不同？ • 3、哪些内容你参加交流？得到哪些启示？
哪些问题你没有参加交流？为什么？
作业：
• 习题四：10 11
再见
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
制作人：孟春
一、知识回顾
• 如图1：
O’(x,y)
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
o
y O’
如图2、3
交点？yyCllC
0
x 0
直线的交点
发展 推广
曲线的交点
第二章 圆锥曲线
第四节 曲线的交点
目标：1、熟练掌握两曲线的交点求法 2、会根据所给条件解决有关问题 3、培养数学发展观念，提高数学素质
• 方程(3)的判别式
• =(2b)2-8(b2-2)=4(2+b)(2-b)
• 当-2<b<2时,判别式大于0,这时方程组有两个不同的实数解, 因此直线与圆有两个交点;
• 当b=-2或b=2时,判别式等于0 ,这时方程有两个相等的实数 解,因此直线与圆的两个交 点重合为一点;
• 当b>2或b<-2时,判别式小于0,这时方程组没有实数解,因此 直线与圆没有交点.