高中数学选修2-1精品教案1：1.2.2 充要条件教学设计

1.2.1分条件与必要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．
（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.
（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程
一.复习引入
充分条件与必要条件的定义
二.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．
三.归纳总结：
易知：p⇒q，故p是q的充分条件；
又q ⇒p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
四.抽象概括
充要条件
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
注意：
1．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．
2．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．
五.例题分析及练习
[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，
但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会]
(1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
训练题组1
1．下列命题中，p是q的充分条件的是()
A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b
解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；
对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，
而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.
答案：A
2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．
答案：A
3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；
(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；
(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0.
解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.
∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．
(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.
[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .
[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .
由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.
∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≥－2，a ≤3，a <0
⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
训练题组2
4．集合A ＝{x |x －1x ＋1
<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取
值范围是( )
A ．[－2,0)
B ．(0,2]
C ．(－2,2)
D ．[－2,2]
解析：A ＝{x |x －1x ＋1
<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.
答案：C
5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．
解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；
不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．
依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .
于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，
1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]. [例3] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋
b ＋
c ＝0.
[思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．
[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.
必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.
∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.
故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
[感悟体会]
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
训练题组3
6．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.
证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a
<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.
充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a
<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋
bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．
7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解：当a ＝0时，x ＝－12
符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a
>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a
<0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求． 六.课堂小结与归纳
1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：
(1)定义法(直接法).
(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .
若A B ，则p 是q 的充分不必要条件
若B A ，则p 是q 的必要不充分条件
(3)等价转化法，即利用A ⇒B 与￢B ⇒￢A ，A ⇔B 与￢B ⇔￢A 来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．
2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．
七.当堂训练
1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．
答案：B
2．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”，故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.
答案：A
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则￢p 是￢q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A
5．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．
解析：直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2⇔|1＋1＋m |2
＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0. 答案：m ＝－4或0
6．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.
证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －
1(p －1)．
当n ＝1时，上式也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1
＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．
∵p ≠0且p ≠1，
∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1
＝p . 因为{a n }为等比数列，
所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p p －1p ＋q
，∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。