第十一节振动学基础题目

试求它们合成振动的振
幅和初相；
解：由旋转矢量法可得 振幅为1m，初相位为π/6
指导P211 3、物体作简谐运动，其运动
方程为
x 6cos(3t )
3
，式中x的单
位为厘米，t的单位为秒，括弧内的数
值以弧度为单位。试求物体在t = 2秒
时的(a)位移；(b)速度；(c)加速度；(d)
位相。
解： x 6cos(3t )
解：设振动表达式 x Acos(t )
A = 2.0×10-2m T = 0.50s
2 4rad/s
x
T
由旋转矢量法可得
(1) 物体在负方向的端点，
x 0.02cos(4t )
(2) 物体在平衡位置，向 正方向运动，
3
2
x 0.02cos(4t 3 )
2
(3) 物体在位移x = 1.0×10-
32
t = 2时
Ek
1 2
k A2
sin2 (
3
2 )
2
1 8
k A2
Ep
1 2
k A2
cos2 (
3
2
)
2
3 kA2 8
指式导分P别21为5 3、x1 一5质1点02同co时s(4参t 与3 )两(S个I)及同方x2向 3的1简02谐sin运(4动t ，6 )其(S振I)，动画表出达两 振动的旋转矢量图，并求合振动的振动表达式。
arctan11
4
4
(2)
3
4
2k
2k 3
4
k = 0,1,2……振幅最大
1 (2k 1)
4
2k 5 k = 0,1,2……振幅最小
4
教材P130 11-18、有两个同 方向的简谐运动：
x1
4 cos(2t
1 6
)
m
x2
3cos(2t
5)
6
m
式中，x以m计，t以s计，
⑴ 振动的初相；
⑵ 振动表达式；
⑶ t = 0.5秒时小球的位置和速度。
解：(1) t = 0 x Acos cos x 0.5
A
3
又因 v A sin 0
3
(2) 2 x 0.12cos(t )
T
3
(3) t = 0.5s时
x 0.12cos(0.5 ) 0.06 3(m)
m 1M
T 2
2
k
指导P215 2、质量为5×10-3kg的质点作周期为6秒，振幅为4×10-2 米的简谐运动，设t = 0时质点恰好在平衡位置向负方向运动。求t = 2秒时质点的动能和势能。
解：设 x Acos(t )
A 0.04 2
T3
由旋转矢量法可得
2
故 x 0.04cos( t )
2m处，向负方向运动，
3
x 0.02cos(4t )
3
教材P129 11-12、如图所示，在一 个倾角为θ的光滑斜面上，固定地 安放一原长为l0、劲度系数为k、 质量可以忽略不计的弹簧，在弹
簧下端挂一个质量为m的重物， 求重物作简谐运动的平衡位置和
周期。
Δl mgsin
k
mgs in
故平衡位置 l l0 k
2
= 1s及t = 1.5s时刻所对应的旋 v A sin 0
转矢量。
2
故 x 2 cos(t )
x /cm
2
2 cm
O
1
2
旋转矢量法
t/s
2
解：设 x Acos(t )
3 2
2 x
由图可知
A 2cm T 2s 2 (rad/s)
T
t
Hale Waihona Puke Baidu
=
0时，位置如图示，
(2)加速度的最大值； (3)振动表达式。
0
2
解：(1)由
vm A 3cms-1 A 2cm
x
得 1.5(rad/s)
T 2 4 (s) 3
故
vm
x 2cos(1.5t )cm
2
教材P128 11-4、如图所示是一简 t = 0时，x 0 Acos 0
谐运动的x-t图，试写出该简谐 运动的表达式，并画出t = 0，t
m
d2x dt 2
k(x
l)
mg
sin
kx
m d2x kx 0 dt 2
d2x k
dt 2
x0 m
解：平衡时弹簧伸长的长度
mgsin k Δl
设 k
m
T 2 2 m
k
教材P129 11-14、一物块悬于弹簧的下端并作简谐运动，当物块的 位移为振幅的一半时，这个振动系统的动能占总能量的多少？势
指导P215 1、如图所示，倔强系数为K的轻弹簧一端固定在墙上，另一端 用一根跨越滑轮的轻绳与质量为m的物体连接。滑轮质量为M，半径为R，
可视作均匀圆盘。今将物体由平衡位置往下移动一个位移，然后放手让
物体自由运动。如绳和滑轮间不打滑，轴上摩擦可忽略。试证物体的运
动是简谐运动，并求振动的周期。
k
解：
F1R F2R
1 MR2
2
F1
F2
1 2
MR
1 2
Ma
又有 F2 kx
故
F1
1 2
Ma
k
x
设 m' m 1 M
2
x' x mg k
又因 mg F1 ma
故 mg 1 Ma kx ma
2
1 d2x
mg
(m 2 M ) dt 2 k(x k ) 0
则
d2x' k
dt 2
x' 0 m'
2
22
故 x 2 A 2
教材P130 11-16、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动：
x1
0.05 cos(10t
3 4
)
m
x2
0.06 cos(10t
1 4
)
m
其中，x以m计，t以s计，(1)求合振动的振幅和初相；(2)若另有一
振动 x3 0.07 cos(10t ) m ，问φ为何值时，x1+x3的振幅为最大， φ为何值时，x2+x3的振幅为最小。
解：当物体向下的加速度大于小物体向下的加速度，它们可以分离。
F0 kx0
k 200N/m
总质量为4kg时，弹簧伸长
x 40 0.2m 200
把物体向下拉10cm时，物体将在平衡位置上下10cm 区间振动，物体上升到最大位置时，仍受到弹簧向上的拉 力，故不会分离。
(2)根据上面的分析可得，当振幅大于20cm时，小物体与振动 物体分离。二者在最高位置时开始分离。
解：(1)
A
A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0.052 0.062 2 0.05 0.06 cos 0.078 (m)
2
tan
A1 sin 1 A1 cos 1
A2 sin 2 A2 cos 2
0.05 sin 0.05 cos
3
4
3
0.06sin
4
0.06 cos
2
t = 1s时，位置如图示， 3
2
t = 1.5s时，位置如图示， 2
教材P128 11-5、已知弹簧振子的振幅A = 2.0×10-2m，周期T = 0.50s， 当t = 0时，(1) 物体在负方向的端点，(2) 物体在平衡位置，向正方 向运动，(2) 物体在位移x = 1.0×10-2m处，向负方向运动；求以上 各种情况的振动表达式
能占多少？又位移为多大时，动能、势能各占总能的一半？
解：(1)
E 1 k A2 2
Ep
1 2
k(1 2
A)2
1 8
k A2
Ek
E
Ep
1 k A2 2
1 k A2 8
3 k A2 8
3
1
Ek
E 4
Ep 4 E
(2) 总能为 E 1 k A2
2
势能占总能的一半
1 k x2 1 (1 k A2 )
解： x2
0.03sin(4t
)
6
0.03cos( 4t )
2
6
0.03cos(4t 2 )
3
x x1 x2 0.02cos(4t 3 )
教材P128 11-3、做简谐运动的小 (2) 球，速度的最大值为v = 3cm·s-1，
am A2 2 2.25 4.5(cm/s2)
振幅为A=2cm，若令速度具有 (3)t = 0时，速度沿正方向最大，
正最大值的某时刻为t = 0，求: 即振子在平衡位置，由旋转矢量
(1)振动周期；
法可确定
3
v 0.12 sin(0.5 ) 0.06 (m/s)
3
指导P211 7、一个轻质弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将一物体悬 挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg。待其静止后 再把物体向下拉10cm，然后释放。问： ⑴ 此小物体是停在振动物体上面还是离开它? ⑵ 如果使放在振动物体上的物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需 满足何条件?二者在何位置开始分离?
3
v 18 sin(3t )
3
a 54 2 cos(3t )
3
t=2时 x 3cm
v 9 3cm/s a 27 2cm/s2
位相 3t 19 rad
33
指导P211 6、弹簧振子中，小球沿x轴作简谐运动，振幅为0.12米， 周期为2秒。当t =0时，位移为6×10-2米且向x轴正方向运动。求：